Структурализм в трактовке математических предметов.

Структурализм в трактовке математических предметов.

Николя Бурбаки, Майкл Резник: в математике первичен не индивидуальный объект, но, скорее, структуры, в которых они упорядочены. См. тезисы Резника к конференции "Философия математики: актуальные проблемы"

Понятие структура широко используется в научном знании, в разных его областях. Поскольку характер этого понятия предельно абстрактный, то оно плодотворно используется и в математике. Идея структуры в математике возникла под влиянием исследований в области множеств. В исследованиях Г. Кантора объекты всех математических теорий рассматривались в отвлечении от их математического содержания. Отсюда и предпосылки, определившие возникновение математического понятия структура.

 Н. Бурбаки полагает, что, применительно к структуре, наиболее значимым является отношение ее элементов. 3 вида структур по Н. Бурбаки: алгебраические, топологические и структуры порядка.

Важно отношение математического знания к действительности. Структурализм рассматривает аксиоматический метод (Д. Гильберт) как своеобразный язык, присущий математике, при помощи которого можно выяснить сущность самой математики.

По мнению Майкла Резника («Структурализм и идентичность математических объектов»), математика изучает паттерны («структуры»). «Структурализм» просто более удачное название, чем «паттернизм», отсюда и взаимозаменяемость. Структура состоит из позиций, которые проявляются в различных отношениях. Паттерны могут иметь строго определенные позиции и монадные отношения, например, цвета. Структура национальных флагов, например, не просто структура, состоящая из определенных форм, но форм совершенно определенных цветов. Их ориентация также очень важна. В математике возможны различные ориентации паттернов (как, скажем, в системах координат) и метрики. Очевидно, что одних лишь логических средств недостаточно для характеристики любых паттернов. Отсюда вытекает идея структурной релятивности.

Ее идея проста: структуры мы можем различать и описыват как функцию некоторых базовых образований, которые у нас есть для изображения структур. Это важно, когда мы мыслим паттерны как некоторого рода трафареты, позволяющие образовывать те или иные конкретные объекты, или говорим об инвариантности при тех или иных трансформациях, или же о классах эквивалентности, определяемых соответствующими отношениями. Данные паттерны относительны в смысле наших средств или имеющихся форм, или же отношений. Более того, обогащая или обедняя базовые образования, мы можем получать различные понятия структуры, сличать различные вещи, которые имеют одинаковые структуры и различать отношения между ними.

Геометрия здесь дает много примеров: в ней говорится о более и более богатых типах структур, которые образуются, скажем, на основе конгруэнтных фигур, ориентированных в евклидовом пространстве и их движениями (но уже без ориентации) и, таким образом, до аффинных и топологических пространств.

Структурная релятивность проявляется, когда мы хотим дать определение вхождения паттернов, причем понятие определимости само относительно выбранного метода определения. Это, в свою очередь, зависит от нелогического словаря базисного языка, и от наших логических средств. Не только наши структурные отношения изменяются с нашим «логическим» фоном, но и элементы структуры и, следовательно, сами структуры.

Если ограничиться описанием структур как моделей различных первопорядковых формул (схем), то типы структур будут похожи на крупно-ячейистые структуры, которые часто встречаются в абстрактной алгебре. Здесь можно исходить из определения таких структур как группа, кольцо или решетка, имея в виду допустить неизоморфные примеры подобного типа. В результате, большинство наших структурных описаний не будут категоричными. С другой же стороны, используя языки второго порядка, можно сформулировать категорические описания структур, изучаемых (второпорядковой) теорией чисел, евклидовой геометрией, анализом. Категорические расширения ZFC считаются достаточно мощными, чтобы обеспечить нужды математиков.

Структурализм в трактовке математических предметов.

Николя Бурбаки, Майкл Резник: в математике первичен не индивидуальный объект, но, скорее, структуры, в которых они упорядочены. См. тезисы Резника к конференции "Философия математики: актуальные проблемы"

Понятие структура широко используется в научном знании, в разных его областях. Поскольку характер этого понятия предельно абстрактный, то оно плодотворно используется и в математике. Идея структуры в математике возникла под влиянием исследований в области множеств. В исследованиях Г. Кантора объекты всех математических теорий рассматривались в отвлечении от их математического содержания. Отсюда и предпосылки, определившие возникновение математического понятия структура.

 Н. Бурбаки полагает, что, применительно к структуре, наиболее значимым является отношение ее элементов. 3 вида структур по Н. Бурбаки: алгебраические, топологические и структуры порядка.

Важно отношение математического знания к действительности. Структурализм рассматривает аксиоматический метод (Д. Гильберт) как своеобразный язык, присущий математике, при помощи которого можно выяснить сущность самой математики.

По мнению Майкла Резника («Структурализм и идентичность математических объектов»), математика изучает паттерны («структуры»). «Структурализм» просто более удачное название, чем «паттернизм», отсюда и взаимозаменяемость. Структура состоит из позиций, которые проявляются в различных отношениях. Паттерны могут иметь строго определенные позиции и монадные отношения, например, цвета. Структура национальных флагов, например, не просто структура, состоящая из определенных форм, но форм совершенно определенных цветов. Их ориентация также очень важна. В математике возможны различные ориентации паттернов (как, скажем, в системах координат) и метрики. Очевидно, что одних лишь логических средств недостаточно для характеристики любых паттернов. Отсюда вытекает идея структурной релятивности.

Ее идея проста: структуры мы можем различать и описыват как функцию некоторых базовых образований, которые у нас есть для изображения структур. Это важно, когда мы мыслим паттерны как некоторого рода трафареты, позволяющие образовывать те или иные конкретные объекты, или говорим об инвариантности при тех или иных трансформациях, или же о классах эквивалентности, определяемых соответствующими отношениями. Данные паттерны относительны в смысле наших средств или имеющихся форм, или же отношений. Более того, обогащая или обедняя базовые образования, мы можем получать различные понятия структуры, сличать различные вещи, которые имеют одинаковые структуры и различать отношения между ними.

Геометрия здесь дает много примеров: в ней говорится о более и более богатых типах структур, которые образуются, скажем, на основе конгруэнтных фигур, ориентированных в евклидовом пространстве и их движениями (но уже без ориентации) и, таким образом, до аффинных и топологических пространств.

Структурная релятивность проявляется, когда мы хотим дать определение вхождения паттернов, причем понятие определимости само относительно выбранного метода определения. Это, в свою очередь, зависит от нелогического словаря базисного языка, и от наших логических средств. Не только наши структурные отношения изменяются с нашим «логическим» фоном, но и элементы структуры и, следовательно, сами структуры.

Если ограничиться описанием структур как моделей различных первопорядковых формул (схем), то типы структур будут похожи на крупно-ячейистые структуры, которые часто встречаются в абстрактной алгебре. Здесь можно исходить из определения таких структур как группа, кольцо или решетка, имея в виду допустить неизоморфные примеры подобного типа. В результате, большинство наших структурных описаний не будут категоричными. С другой же стороны, используя языки второго порядка, можно сформулировать категорические описания структур, изучаемых (второпорядковой) теорией чисел, евклидовой геометрией, анализом. Категорические расширения ZFC считаются достаточно мощными, чтобы обеспечить нужды математиков.