Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы

Построим ЛАЧХ неизменяемой части проектируемой системы.

Передаточная функция неизменяемой части системы имеет вид:

Она может рассматриваться как результат последовательного соединения одного интегрирующего звена с коэффициентом усиления k_н и двух инерционных звеньев у которых коэффициент усиления к = 1. Постоянные времени инерционных звеньев Т_дв н Т_у.

Найдем W (jω) для каждого из этих звеньев:

Найдем АЧХ для каждого сомножителя

ЛАЧХ неизменяемой части системы определяется выражением:

ЛАЧХ неизменяемой части системы состоит из 4-х прямых:

1.  — это прямая параллельная оси абсцисс.

2.  — это прямая, пересекающая ось абсцисс при oj = 1 и имеющая наклон к ней -20 дБ/дек.

3.  — это ЛАЧХ инерционного звена при к = 1.

Имеет две асимптоты: при 0 < ω <1/Тдв — прямая совпадающая с осью абсцисс. При 1/Т_дб < ω < ^с — прямая, имеющая наклон к оси абсцисс -20 дБ/дек. Частота сопряжения co_ci = 1/Тдв-

4.  — это ЛАЧХ инерционного звена при к = 1 и ω _с=1/ T _у

Суммировав все эти прямые, получим ЛАЧХ для неизменяемой части системы. Полученную кривую можно разделить на 3 части.

1. ω < ω _{с дв} Наклон определяется только интегрирующим звеном; он равен -20 дБ/дек.

2. ω _с < ω < ω _{с у}. Наклон увеличивается в два раза и становит­ся равным -40 дБ/дек, т.к. на частоте со_{с дб} появляется наклонная пря­мая от инерционного звена 2 (Т_х < Т_дв и поэтому ω _дв = 1/Т_дв меньше, чем ω _{с у} = 1/Т_у).

3. ω _{c у} < ω < ∞. Наклон прямой становится равным -60 дБ/дек. т.к. с частоты ω _{c у}  начинают работать три наклонные прямые.

ЛАЧХ неизменяемой части системы, желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего звена рис. 6.

Построим теперь ЛАЧХ неизменяемой части системы в мас­штабе (рис. 5).

Найдем сопрягающие частоты для инерционного звена пред­ставляющего магнитный усилитель инерционного звена, представ­ляющего двигатель.

ω _{с дв} = 1/Т_дв = 1/0,14= 7,14 с¹;

ω _{c у} = 1/Ту = 1/0,01 = 10 с¹;

201g k = 20lg 39.5 = 31.9 дБ.

Следовательно, кривая ЛАЧХ должна быть поднята над осью

Рис. 5. ЛАЧХ неизменяемой части системы.

Наклон ЛАЧХ для диапазона частот ω < ω _{с дв}. равен -20 дБ/дек. Если расположить ось ординат на 0,1 с'¹, а не на 0, пересечение с осью ординат будет на уровне 39.1 дБ.

На частоте ω _С1 = ω _{с дв} = 1/Т_дв = 1/0,14= 7,14 с¹наклон ЛАЧХ увеличивается и равен -40 дБ/дек.

На частоте ω _С2 = ω _{c у} = 1/Ту = 1/0,01 = 10 с¹наклон ЛАЧХ увеличивается до -60 дБ/дек. (на частоте ω _{c у} появляется вторая асим­птота от инерционного звена Ту).

Рис. 6. ЛАЧХ неизменяемой части системы, желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего звена

 

Построение желаемой ЛАЧХ

Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится исходя из тре­бований, предъявляемых к системе, и по основным показателям каче­ства: требуемый коэффициент усиления (определяемый желаемой точностью ее работы): желаемый порядок астатизма системы (число интегрирующих звеньев или кратность нулевого корня в характери­стическом уравнении разомкнутой системы), допустимое время пере­ходного процесса t_p, требуемый запас устойчивости по фазе (опреде­ляется величиной перерегулирования, σ).

Желаемую ЛАЧХ (рис. 7) условно разделяют на 3 части: низ­кочастотную. среднечастотную и высокочастотную.

Рис. 7. Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы.

Для построения L _ж (ω) надо знать частоту среза ω_ср, координату определяющую положение точек b и с. коэффициент усиления разомкнутой нескорректированной системы и наличие астатизма у системы. Низкочастотная часть проводится через точку а с ординатой 201gk, где к - коэффициент нескорректированной разомкнутой системы.

ω_з ≈ (2 - 4) ω_ср  и ω₂ = ω_ср² / ω₃,

ω_ср 3,5 П /1,8=6,11с; ω₂ = 6,11² /12,22=3,06, ω_з ≈ 2 *6,11=12,22

Значение ω_ср определяют по номограмме (рис. 8, а).

По заданному значению перерегулирования σ по кривой σ (Р_тао) номограммы определяют соответствующие значения Р_тах. Затем по значению Р_тах по кривой t_p (Pmax) определяют значение СП/ ω_ср . Это значение приравнивают заданному значению времени регулирования t_p и из полученного равенства определяют частоту среза ω_ср = СП/ t_p

Это значение и наносят на характеристику (см. рис. 8).

Рис.8. Номограммы для определения параметров среднечастотной

части желаемой ЛАЧХ

Ордината L _M при заданном значении перерегулирования о оп­ределяется по номограммам (рис. 8, б). Заданы показатели качества регулирования - длительность регулирования t_p =1,8 си перерегулирование σ =40%. Тогда по рис. 8, а при σ =40% определим Р_тах=1,4,

t_p =2,8П/ ω_ср. По выражению 2,8П/ ω_ср = t_p =1,8 рассчитаем частоту среза ω_ср =4,2 с*¹. Значение L _M =12,46 дБ определим по кривым (см. рис. 13) при полученном σ =1,42. Частота среза ω_ср и значение L _M определим ориентировочно. Проведем среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ L_ж (ω) через точку ω_дв с наклоном минус 20 дБ/дек, до пересечения с горизонтальными прямыми L. y выше и ниже оси абсцисс (см. точки Ь и с). Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной, проходящей с наклоном минус 40дБ/дек в точке Ь. Высокочастотная асимптота в точке с совпадает с асимптотой неизменяемой ЛАЧХ, проходящей с наклоном минус 60 дБ/дек.