Определение переходной функции скорректированной системы

Синтез САУ, проведенный приближенными методами на осно­ве логарифмических амплитудно-фазовых характеристик, завершают выяснением свойств скорректированной системы, установлением со­ответствия между фактическим перерегулированием и временем ре­гулирования и их заданными величинами. С этой целью методом тра­пеций на основе вещественной части частотной характеристики замкнутой системы от частоты определяют переходную функцию замкнутой системы, т.е. ее реакцию на единичное воздействие со сто­роны задатчика.

Для определения числовых значений показателей переходного процесса необходимо иметь его кривую, которую можно получить экспериментально в результате моделирования и расчета. В последнем случае используют методы, основанные на решении диф­ференциальных уравнений н частотный метод.

Частотный метод построения переходного процесса основыва­ется на количественной связи между временными и частотными характеристиками, которую можно выразить формулой

где Р(ω) - вещественная частотная характеристика замкнутой систе­мы.

Рис. 12. Номограмма для определения вещественной частотной характеристики замкнутой системы

Таблица h -функции составлена для единичной трапеции, которая характеризуется коэффициентом наклона χ= ω_а/ ω_n (рис. 17, б). Такая таблица позволяет для заданного значения / построить график переходной характеристики h(τ) в функции относительного времени τ = ω_nt, где t — текущее время переходного процесса.

Переходную функцию h (t) удобно строить в такой последовательности:

Таблица 1

Рис. 13. Переходная характеристика, построенная по вещественной частотной характеристике системы

1. Найти передаточную функцию разомкнутой системы W (p) по структурной схеме или соответствующему дифференциальному уравнению;

2. По передаточной функции W (p) построить логарифмические амплитудную L (ω) и фазовую (рис.11) φ(ω) частотные характеристики (рис.10);

3. По значениям L (ω) и φ(ω) с использованием Р- номограммы (см. рис. 12) определить значения и построить график вещественной характеристики Р(ω) замкнутой системы (см. рис. 17 );

4. Характеристику Р(ω) разбить на трапеции. Для этого дейст­вительную характеристику Р(ω) заменить приближенно прямолинейными отрезками и концы каждого отрезка соединить с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс. Более тщательно необходимо аппроксимировать характеристику' при низких частотах. Ее конечную часть с ординатами менее 0,1 Р(0) можно не принимать во внимание. Характеристика Р(ω) аппроксимирована прямолинейными отрезками аб, бв, гд, дж, ик, кл и лм. (см. рис. 13). Концы каждого из этих отрезков соединены с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс. При этом имеется шесть геометрических фигур: абв, вгде, еджз, зжий, йклм, млно;

5. Определить параметры трапеций. Для каждой i-й трапеции по графику найти частоты ω _ai и ω _ni высоту Р _i. По значениям ω _ai и ω _ni определить коэффициенты наклона χ= ω_а/ ω _n. Величину Р _i - считать положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции распо­ложена выше большей, и отрицательной в противоположном случае. Сумма высот всех трапеций равна Р(0). Параметры ω _ai, ω _ni, χ _i, Pi каж­дой трапеции занести в таблицу'. Для трапеций абв и вгде параметры приведены ниже.

Таблица 2

6. определить составляющие переходной характеристики. В таблице h -функций (см. прил. 3) для каждой i-й трапеции найти столбец, соответствующий значению χ _i. Затем для ряда значений ус­ловного времени τ определить соответствующие им значения h (τ). По значениям τ и h (τ) вычислить значения текущего времени переходного процесса t и составляющей h_i переходной характеристики:

t = τ / ω _ni;  

h_i = Р _i, h (τ)

7. построить графики составляющих h_i (t) переходной характе­ристики. Все составляющие располагаются на одном графике, знак каждой из них определяется знаком высоты соответствующей трапеции;

8. построить график переходной характеристики h (t). Ордина­ты h (t) определить суммированием ординат всех составляющих в фиксированные моменты времени.