Урок изучения нового: Касательная к окружности, ее свойство и признак

Урок изучения нового: Касательная к окружности, ее свойство и признак

 

Учебная задача:

 

• Ввести понятие касательной к окружности и  точки касания.

• Сформулировать и доказать свойство касательной и ее признак, показать их применение при решении задач.

Диагностические цели урока:

Учащиеся должны знать:

·  определение касательной к окружности, точки касания;

Учащиеся должны уметь:

· Формулировать и доказывать теорему о свойстве касательной к окружности и ее признак;

Развивающая:

· развивать логическое мышление;

· умения применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательная:

· воспитывать аккуратность, культуру геометрической речи.

Метод обучения:

· Объяснительно-иллюстративный

Средства обучения:

· Доска, мел, рисунки, текст теста.

 

Форма работы:

· Беседа.

 

Структура урока:

1. Повторение изученного ранее – 5 мин.

2. Актуализация знаний учащихся – 3 мин.

3. Мотивация учебной деятельности – 2 мин.

4. Постановка целей и учебных задач – 3 мин.

5. Сообщение темы урока – 2 мин.

6. Ознакомление с новым материалом – 25 мин.

7. Подведение итога урока и постановка домашнего задания –5 мин.

Ход урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация знаний учащихся

Два ученика готовят решение домашних задач на доске, пока ос­тальные учащиеся решают тест. Задания теста в распечатанном виде раздать на каждую парту.

Проверка домашнего задания

Проверить домашние задачи № 632, 633.

Задача № 632

 Расстояние от точки А до центра окружности мень­ше радиуса окружности. Докажите, что любая пря­мая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.

Краткое решение (см. рис.):

Пусть р произвольная прямая и на ней отложим два отрезка AB и АС такие, что AB=AC= . По теореме Пифагора ОВ = ОС =  обе точки В и С лежат на окружности, значит, прямая р является секущей по отношению к данной окружности.

Задача № 633

Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

Краткое решение (см. рис.):

∆АСО - прямоугольный, так как ОАВС - квадрат. По теореме Пифагора АС² = АО² + ОС² = 6² + 6² = 72 => АС = 6 см.

ОН - высота равнобедренного треугольника АСО, проведен­ная к его основанию => ОН- медиана этого треугольника, то есть AH = HC =3 см.

В ∆ АО H потеореме Пифагора ОН² = ОА² - АН² = 6² –(3 )² = 18 => OH = 3  см  4,2 см.

Радиус окружности равен 5 см => OH < r => AC и окружность пересекается в двух точках. Итак, секущими по отношению к этой окружности, являются АС и ОА. АВ и ВС неявляются секу­щими, так как d =ОА = ОС = 6 см > r = 5 см. Ответ: АС и О А.

 

   Мотивация.

II. Содержательная часть.

1. Введение определения касательной и точки касания.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.): р -касательная к окружности; А - точка касания.

 

 

2. Доказательство теоремы о свойстве касательной к окружности лучше провести в ходе беседы учителя с учащими­ся по рис., приготовленному на доске.

Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

- Предположим, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА. Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с ра­диусом окружности.

(Расстояние от точки О — центра окружности - до прямой р меньше радиуса, так как радиус ОА в данном случае является наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р - перпендикуляром к прямой р, а как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой что и наклонная.)

- Каково взаимное расположение прямой р и окружности? По­чему?

- Может ли прямая р быть касательной к окружности? Объясни.

(Прямая р не может быть касательной к окружности, так как она имеет с ней две общие точки.)

- Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит?

(Предположение о том, что прямая р не перпендикулярна радиусу неверное, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу.)

3. Ввести понятие отрезков касательных, проведенных из одной точки.

Определение: Отрезки АВ и АС называются отрезками каса­тельных, проведенных из точки А, если прямые АВ и АС являются касательными к окружности, точки В и С - точками касания.

Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся (см. рис.):

АВ и АС — отрезки касательных, про­веденных из точки А.

В и С- точки касания.

 

 

4. Доказательство свойства отрезков ка­сательных, проведенных из одной точки.

Творческое задание:

Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, прохо­дящей через эту точку и центр окружности.

Для выполнения творческого задания дать учащимся 3-5 минут, а затем обсудить различные варианты решений. Если учащиеся не смогли самостоятельно справится с заданием, выполнить задание, используя наводящие вопросы.

Решение (см. рис.):

По теореме о свойствах касательной к окружности АВ  ОВ и АС   ОС => ∆ АОВ и ∆ АОС - прямоугольные, они равны по кате­ту (ОВ = ОС) и гипотенузе (ОА) =>АВ = АС и 1 = 2.

Наводящие вопросы:

- Соединим точки А и О отрезком. Что вы можете сказать о тре­угольниках АОВ и АОС?

- Чем является луч АО для угла ВАС?О чем это говорит?

5. Знакомство с признаком касательной и его доказательство.

- Сформулируйте теорему, обратную свойству касательной к окружности.

Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежа­щий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

- Верна ли теорема, обратная свойству касательной к окружности?

- Докажите ее справедливость.

(По условию теоремы радиус яв­ляется перпендикуляром к прямой, значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Это говорит о том, что прямая и окружность имеют одну общую точку, т.е. прямая является касательной к окружности.)

6. Решение задачи на построение.

Дана окружность с центром в точке О и точка М на ней. Построить касательную к окружности, проходящую через точку М (см. рис.).

Вопросы для обсуждения:

- Предположим, а — касательная к окружности, проходящая че­рез точку М. Каково взаимное расположение прямой а и ра­диуса ОМ?

- Как построить касательную к окружности, проходящую через М?

Задача № 640

Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к ок­ружности. Найдите угол между ними, если ОА = 9 см

Краткое решение (см. рис.):

∆АОВ прямоугольный, ОА = 9 см, ОВ = 4,5 см => ВАО = 30°.

∆ОАС = ∆АОВ => ОАС = 30° => ВАС = 60°.

Ответ: 60°.

 

Задача № 635

Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Краткое решение (см. рис.):

В ∆ АОВ ОА = АВ по условию задачи, ОВ = ОА как радиусы одной окружности => ∆АОВ - равносторонний, ОАВ = 60°.

ОА   АС => САВ = 90° - 60° = 30°. Ответ: 30°.

 

 

Задача №637

Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке В. Докажите, что треугольник АСО равнобедренный.

Краткое решение (см.рис.):

∆АОС - равнобедренный (ОА = ОС как радиусы) => 1= 30°, ОС С D (радиус окружности перпендикулярен касательной) => ОС D = 90°.

АС D = 1+ ОС D = 180° - ( А + АС D) = 180° - (30° + 120°) = 30° => ∆АС D - равнобедренный с основанием А D.

Дополнительная задача

АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к ок­ружности с центром О. Найдите АВ и ВС, если ОА = 16 см, а радиу­сы, проведенные к точкам касания, взаимно перпендикулярны.

Решение (см. рис.):

Т. к. ВА и ВС - отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, то ОА АВ, ОС СВ, АВ = ВС и 1 = 2 => A ОВ = СОВ.

Т. к. ОА  ОС и A ОВ = СОВ = 45° => 1=45°, 2 = 45°.

∆АОВ - равнобедренный с основанием ОВ, значит, ОА = АВ.

По теореме Пифагора ОА² + АВ² = ОВ² => так как ОА = АВ, то 2 ОА² = 16 ²=> О A = 8  см => АВ = B С = 8  см.

Ответ: 8 см, 8 8  см.

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

П. 69, вопросы 3-7;

Решить задачи № 634, 636, 639 учебника.

• Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведенных из од­ной точки и показать его применение в процессе решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

Теоретический опрос

(Три ученика готовятся у доски.)

- Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

- Сформулируйте и докажите теорему о свойстве отрезков каса­тельных к окружности, проведенных из одной точки.

- Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Проверка домашнего задания

Проверить домашнюю задачу № 639 через графопроектор.

Задачам 639

 Прямая АВ касается окружности с центром О радиу­са r в точке В. Найдите АВ, если АОВ = 60°, а r = 12 см.

Решение (см. рис.):

∆АОВ- прямоугольный, А = 90° - О = 30° => ОВ =   ОА => ОА = 24 см.

По теореме Пифагора АВ = (см).

Ответ:   (см).

Наводящие вопросы

- Каково взаимное расположение касательной АВ и радиуса ОВ.

- Как найти катет АВ треугольника АОВ?

Далее можно заслушать учащихся, подготовивших у доски дока­зательства теорем.

III. Решение задач

1. Самостоятельно решить задачи № 641, 644, 647, записав крат­кое решение (учитель в это время оказывает индивидуальную по­мощь менее подготовленным учащимся).

Задача № 641

Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Краткое решение (см. рис.):

В ∆ ОАС С = 90°, ОС =  ОА => ОАС = 30° => ВАС = 60°.

Задача № 644

Прямые МА и МВ касаются окружности с цент­ром О в точках А и В. Точка С симметрична точ­ке О относительно точки В. Докажите, что АМС = 3 ВМС.

Краткое решение (см. рис.):

МА и МВ - отрезки касательных, проведенных из точки М => 1 = 2. Точки О и С симметричны относительно точки В => ОВ = ВС и О, В, С лежат на одной прямой => ∆ OMB = ∆ СМВ по двум катетам => 2= 3=> АМС = 3 ВМС.

Задача № 647

Отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О ок­ружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) НАО = 45°, ОА = 4 см; в) НАО= 30°, ОА = 6 см?

Краткое решение (см. рис.):

а) ОА = 5 см, АН = 4 см => ОН =  = 3 см = r => АН - касательная к окружности.

б) H О A = 45°, ОА = 4 см => ОН = НА, ОН² + НА² = ОА²=>2 ОН² = 16 => ОН =   см  3 см => АН явля­ется касательной к окружности.

в) H О A = 30°, ОА = 6 см => OH = OA = 3 см = r => АН - каса­тельная к окружности.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

IV. Самостоятельная работа

К первой задаче из самостоятельной работы записать краткое ре­шение (можно на рисунке); ко второй задаче - полное решение.

Уровень

I вариант

1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К— точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажи­те, что АВ - отрезок касательной, проведенной из точки А к окруж­ности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.

II вариант

1. Прямая М N касается окружности с центром в точке О, М- точ­ка касания, М N О = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите N0.

2. В треугольнике М N К М N = 6см, МК = 8 см, N К = 10 см. Дока­жите, что МК - отрезок касательной, проведенной из точки К к ок­ружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.

II уровень

I вариант

1. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если АОС = 60°.

2. Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиу­сом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.

II вариант

1. М N и N К - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О, MN К = 90°. Найдите радиус окружности, если О N = 2 см.

2. Докажите, что стороны равностороннего треугольника касают­ся окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиу­сами, равными любой из его биссектрис.

III уровень

I вариант

1. ЕК и Е F - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, КО F = 120°, А - точка пере­сечения К F и ОЕ. Найдите ОА и АЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.

II вариант

1. РМ и РN - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см, МО N = 120°, Е - точка пере­сечения М N и ОР. Найдите ОЕ и РЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность, касающуюся сто­рон данного угла, с центром, удаленным от вершины угла на рас­стояние, равное длине данного отрезка.

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

Решить задачи № 641, 643, 645, 648.

Урок изучения нового: Касательная к окружности, ее свойство и признак

 

Учебная задача:

 

• Ввести понятие касательной к окружности и  точки касания.

• Сформулировать и доказать свойство касательной и ее признак, показать их применение при решении задач.

Диагностические цели урока:

Учащиеся должны знать:

·  определение касательной к окружности, точки касания;

Учащиеся должны уметь:

· Формулировать и доказывать теорему о свойстве касательной к окружности и ее признак;

Развивающая:

· развивать логическое мышление;

· умения применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательная:

· воспитывать аккуратность, культуру геометрической речи.

Метод обучения:

· Объяснительно-иллюстративный

Средства обучения:

· Доска, мел, рисунки, текст теста.

 

Форма работы:

· Беседа.

 

Структура урока:

1. Повторение изученного ранее – 5 мин.

2. Актуализация знаний учащихся – 3 мин.

3. Мотивация учебной деятельности – 2 мин.

4. Постановка целей и учебных задач – 3 мин.

5. Сообщение темы урока – 2 мин.

6. Ознакомление с новым материалом – 25 мин.

7. Подведение итога урока и постановка домашнего задания –5 мин.

Ход урока