Решение задач на готовых чертежах

(Самостоятельно с последующей проверкой по готовым ответам.)

1. Рис. Дано: К = 5, АВ- касательная.

Найти: ОВ.

ОТВЕТ: OB =

2. Рис. Дано: АВ - касательная; АВ = 12, ОВ = 13.

Найти: R окружности.

ОТВЕТ: R = 5.

 

 

3. Рис. Дано: АВ, ВС - касательные, ОВ = 2, АО = 4.

Найти: ВОС.

ОТВЕТ: ВОС= 120

 

4. Рис. Дано: АВ - касательная, R = 6, АО = ОВ.

Найти: АО.

ОТВЕТ: АО= 10.

5. Рис. Дано: М, М, К -точка касания.

Найти: P_ABC.

ОТВЕТ: P_ABC = 34.

 

6. Рис. Дано: АВ = 10 см, О - центр окружности, С D - каса­тельная, АЕ || С D. Найти: ОС.

ОТВЕТ: ОС = .

III. Решение задач

1. Самостоятельно решить задачи № 641, 644, 647, записав крат­кое решение (учитель в это время оказывает индивидуальную по­мощь менее подготовленным учащимся).

Задача № 641

Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Краткое решение (см. рис.):

В ∆ ОАС С = 90°, ОС =  ОА => ОАС = 30° => ВАС = 60°.

Задача № 644

Прямые МА и МВ касаются окружности с цент­ром О в точках А и В. Точка С симметрична точ­ке О относительно точки В. Докажите, что АМС = 3 ВМС.

Краткое решение (см. рис.):

МА и МВ - отрезки касательных, проведенных из точки М => 1 = 2. Точки О и С симметричны относительно точки В => ОВ = ВС и О, В, С лежат на одной прямой => ∆ OMB = ∆ СМВ по двум катетам => 2= 3=> АМС = 3 ВМС.

Задача № 647

Отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О ок­ружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) НАО = 45°, ОА = 4 см; в) НАО= 30°, ОА = 6 см?

Краткое решение (см. рис.):

а) ОА = 5 см, АН = 4 см => ОН =  = 3 см = r => АН - касательная к окружности.

б) H О A = 45°, ОА = 4 см => ОН = НА, ОН² + НА² = ОА²=>2 ОН² = 16 => ОН =   см  3 см => АН явля­ется касательной к окружности.

в) H О A = 30°, ОА = 6 см => OH = OA = 3 см = r => АН - каса­тельная к окружности.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

IV. Самостоятельная работа

К первой задаче из самостоятельной работы записать краткое ре­шение (можно на рисунке); ко второй задаче - полное решение.

Уровень

I вариант

1. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К— точка касания. Найдите ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

2. В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3 см, АС = 5 см. Докажи­те, что АВ - отрезок касательной, проведенной из точки А к окруж­ности с центром в точке С и радиусом, равным 3 см.

II вариант

1. Прямая М N касается окружности с центром в точке О, М- точ­ка касания, М N О = 30°, а радиус окружности равен 5 см. Найдите N0.

2. В треугольнике М N К М N = 6см, МК = 8 см, N К = 10 см. Дока­жите, что МК - отрезок касательной, проведенной из точки К к ок­ружности с центром в точке N и радиусом, равным 6 см.

II уровень

I вариант

1. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см. Найдите ВО, если АОС = 60°.

2. Докажите, что основание АС равнобедренного треугольника АВС является касательной окружности с центром в точке В и радиу­сом, равным медиане треугольника, проведенной к его основанию.

II вариант

1. М N и N К - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О, MN К = 90°. Найдите радиус окружности, если О N = 2 см.

2. Докажите, что стороны равностороннего треугольника касают­ся окружностей, проведенных с центрами в его вершинах и радиу­сами, равными любой из его биссектрис.

III уровень

I вариант

1. ЕК и Е F - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, КО F = 120°, А - точка пере­сечения К F и ОЕ. Найдите ОА и АЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность радиусом, равным данному отрезку, касающуюся сторон данного угла.

II вариант

1. РМ и РN - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О и радиусом, равным 10 см, МО N = 120°, Е - точка пере­сечения М N и ОР. Найдите ОЕ и РЕ.

2. Даны угол и отрезок. Постройте окружность, касающуюся сто­рон данного угла, с центром, удаленным от вершины угла на рас­стояние, равное длине данного отрезка.

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

Решить задачи № 641, 643, 645, 648.