В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

РЕШЕНИЕ:

Предположим, что Андрей в одной из групп.

А

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

 

Все возможные варианты для Сергея, п = 25

             

         Благоприятные исходы для Сергея т = 12

 

Вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одном месте равна Р(А) = 12/25 = 0,48

 

ЗАДАЧА

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки.

А) Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Б) Найдите вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом.

РЕШЕНИЕ

 

Предположим, что девочка заняла одно из мест.

Вторая девочка может занять любое оставшееся место – 8 вариантов

Благоприятные места – 2 варианта

Вероятность того, что девочки будут сидеть рядом Р(А) = 2/8 = 0,25

Вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом Р(А) = 1 - 0,25 = 0,75

 

 

ЗАДАЧА

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение

Производят – 100% тарелок = N штук, из них

              10% - дефект = 0,1 N

                    90% - стандарт = 0,9 N

 

Контроль качества – все 100% тарелок подвергаются проверке

дефект выявляется у 80% дефектных тарелок

Значит, 20% дефектных тарелок поступают в продажу

0,2 · 0,1 N = 0,02 N

 

Значит, всего в продажу поступает 0,9 N + 0,02 N = 0,92 N тарелок, из них стандартных 0,9 N

Итак, Р(А) =

 

 

 

Формулы числа сочетаний.

 

·      Элементы не повторяются.

Необходимо выбрать на подарок 2 книги из имеющихся 5 книг

 

·  Элементы повторяются. 

Имеется 4 вида пирожных. Необходимо купить любые 7 пирожных. Сколько способов?

Придумать задачу каждого типа.

ЗАДАЧА

На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв п,р,у,о,а,у,к. Найти вероятность того, что на четырёх вынутых по одной и расположенных в одну линию, карточках можно будет прочитать слово «рука».

Опыт - наугад выбирают одну за другой четыре карточки и располагают их в линию из 7 имеющихся карточек. Исходы опыта – различные слова из 4-х букв. 

Событие А – в результате опыта получится слово «рука» (благоприятны исход опыта)

п – число всех исходов опыта, то есть число способов выбрать 4 буквы из 7 (порядок букв важен, повторений нет)

             1 буква – 7 вариантов

             2 буква – 6 вариантов

         3 буква – 5 вариантов

             4 буква – 4 варианта

        по правилу произведения п = 840

  т – число способов, в результате опыта получить слово «рука»

             1 буква – «р» - 1 вариант

             2 буква – «у» - 2 вариант

             3 буква – «к» - 1 варианта

             4 буква – «а» - 1 вариант

    т = 2

Итак, Р(А) =

ЗАДАЧА

В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Опыт – выбираем двух человек из 5 человек (обозначим их А, В, С, Д, Е).

Исходы опыта – различные пары людей

Событие А – турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин, то есть среди двух выбранных туристов будет турист Д.

п – число всех возможных исходов опыта, то есть число способов выбрать любых 2 человек из 5 возможных (порядок не важен, повторений нет)

т – число благоприятных исходов. Перебор: АД, ВД, СД, ЕД

т = 4

Р(А) =

 

ЗАДАЧА

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

          5-рублевые монеты – 2 штуки                             10-рублевые монеты – 4 штуки

                                                                Всего – 6 монет

Опыт – выбираем любые 3 монеты из шести. Исходы опыта – различные комбинации монет (355, 335,

Событие А – среди этих 3-х монет ровно 1 монета 5-рублевая, значит две другие – 10-рублевые (в этом случае они окажутся в разных карманах)

Подсчитаем число всех исходов опыта – число способов выбрать 3 монеты из имеющихся 6 монет (порядок не важен, повторений нет)

Количество способов взять 3 монеты из 6, чтобы переложить их в другой карман, равно

Подсчитаем число благоприятных исходов опыта – количество способов выбрать 1 пятирублевую монету из 2 пятирублевых монет и взять вместе с ней еще 2 десятирублевых монеты из имеющихся 4 десятирублевых монет,  по правилу произведения равно

2·6 = 12

Поэтому искомая вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах, равна

P(A) =

ЗАДАЧИ

· Сколько существует 4-значных чисел? Сколько существует 4-значных чисел, все цифры в котором различны?

· В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад деталей ровно 4 детали стандартные?   Отв. 0,5

· В ящике 10 шаров, из них 4 белых и 6 черных. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белого цвета? Какова вероятность того, что шары имеют разный цвет? Отв. 2/15, 8/15.

· На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых. Ответ: 0,33

· Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1. Ответ: 0,25

 

 

 

 

ЗАДАЧА