В 1 ящике 20 деталей – 18 стандартных деталей,

во 2 ящике 25 деталей – 20 стандартных деталей;

В 3 ящик 30 деталей - 25 стандартных деталей.

Какова вероятность выбрать из наудачу выбранного ящика стандартную деталь

 

опыт – наудачу выбирается деталь из наудачу выбранной группы

событие А – наудачу выбранная деталь из наудачу выбранного ящика окажется стандартной.

Для вычисления вероятности события А используем формулу полной вероятности:

Гипотеза Н₁- наудачу выбрали первый ящик, будем считать, что выбрать любой из трёх ящиков можно с равной вероятностью, значит Р(Н₁)=1/3. В первом ящике 20 деталей, из них 18 стандартных, значит, вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется стандартной равна

Гипотеза Н₂- наудачу выбрали второй ящик Р(Н₂)=1/3, в этом случае вероятность того, что выбранная деталь окажется стандартной равна 

Р_H2 (А)=

Гипотеза Н - надачу выбрали третий ящик, аналогично

Р(Н₃)=1/3, Р_H3(А)= 25/30

 

Итак, Р(А)=  0,8444

 

Ответ: Р(А)= 0,8444

 

ЗАДАЧА

При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в отношении 1:3:6. При попадании в танк крупный осколок пробивает бронь с вероятностью 0,9; средний – 0,3; мелкий – 0,1.

       А) Найти вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет её.

       Б) Нати вероятность того, что броню пробьет крупны осколок.

Опыт – в броню попадает осколок

Событие А – попавший в броню осколок пробьет её..

Для вычисления вероятности события А используем формулу полной вероятности:

Гипотеза Н₁- в броню попадёт крупный осколок, таких осколков 1 часть из 10,

значит Р(Н₁)=0,1. Если в броню попал крупный осколок, то он пробьёт броню с вероятностью 0,9.   

Значит Р_H1 (А)=0,9

 Гипотеза Н₂- в танк попадёт средний осколок, таких осколков 3 части из 10, значит

Р(Н₂)=0,3, вероятность пробить броню равна 0,3, Р_H2 (А)=0,3

 Гипотеза Н₃- в танк попадёт мелкий осколок Р(Н₃)=0,6, Р_H3 (А)=0,1

Итак, Р(А)= 0,1 ·0,9 +0,3 ·0,3+0,6 ·0,1 = 0,24

 

Б) ФОРМУЛА БАЙЕСА

Вероятность того, что броня пробита крупным осколком

 

 

 

 

· Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Ответ: 0,52

 

· Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Ответ: 0,75

 

 

 

Формула Бернулли

 

Вероятность того, что из n -испытаний событие А произойдет ровно k раз

 

Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырёх попаданий. Вероятность попадания для одного орудия равна 0,5.

Найдём вероятность того, что из шести орудий будет не менее четырёх выстрелов.

Используем формулу Бернулли.

0,234375

0,09375

 = 0,234375 + 0,09375 + 0,015625 = 0,000343

Вариант 1.

· Сколько четных двухзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?

· Набирая номер телефона, человек забыл одну цифру и набрал её наугад. Какова вероятность, что абонент угадал номер телефона?

· Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность попадания в третью область. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую область.

· Кубик бросали трижды. Найти вероятность того, что в сумме выпало 12 очков.

· В классе 16 учащихся, среди них два друга-Сергей и Олег. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Олег окажутся в одной группе. Отв. 0,12

· В коробке 8 красных и 4 синих карандаша. Наугад вынимают 3 карандаша. Какова вероятность, что все карандаши красные.

· В партии из 8 деталей 5 стандартных. Найти вероятность того, что из 4 взятых наугад деталей ровно 3 детали стандартные?

· Имеются 3 ящика, в каждом из которых по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных, во втором – 7 стандартных, в третьем – 9 стандартных. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными (по одно из каждого ящика).

· Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель равна 0,4. Сколько выстрелов необходимо провести, чтобы поразить цель с вероятностью 0,9.

· В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попада­ния в мишень для данного стрелка соответственно равны 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из слу­чайно выбранной винтовки?

· На завод поступают комплектующие детали с трех заводов в соотношении 2:3:4. В среднем из 100 деталей, поступивших с первого завода 2 – бракованные, на 100 деталей со второго завода приходится 5 бракованных; с третьего завода – 1 бракованная. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь качественная.

· Найти вероятность того, что при десяти бросаниях игрального кубика «шестерка» выпадет ровно три раза; не менее 3-х раз; менее 3-х раз.

 

 

Вариант 2

· Сколько способов существует расставить8 спортсменов на 8 беговых дорожек?

· В коридоре 3 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

· В среднем на 100 качественных сумок приходится 8 бракованных. Найти вероятность того, что купленная сумка – качественная.

· Игральный кубик бросают трижды. Найти вероятность того, что а) все три раза выпадет орел                        б) ни разу не выпадет орел в) хотя бы один раз выпадет орел

· Вероятность выбить при одном выстреле: 10 очков равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 очков и менее равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

· В классе 33 учащихся, среди них два друга — Андрей и Михаил. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Михаил окажутся в одной группе.

· В партии из 8 деталей 5 стандартных. Найти вероятность того, что из 4 взятых наугад деталей 1 или 2 стандартные? Найти вероятность того, чтобы хотя бы одна стандартная.

· В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. А) Найти вероятность вытащить цветной шар? Б) Наудачу вытащили три шара. Найти вероятность того, что они все разных цветов.

·  В типографии 4 машины. Для каждой машины вероятность работы в определённый момент времени равна 0,4. Найти вероятность того, что в данный момент времени работает хотя бы одна машина.

· Предприятие изготавливает 95% стандартных деталей, причем 86% из них первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

· Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелок независимо производит 5 выстрелов. Найти вероятность того, что стрелок ни разу не промахнется. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз.

· В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

· Имеются три одинаковые урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй — три белых и один черный; в третьей — два белых и два черных шара. Для опыта наугад выбрана одна урна и из нее вынут шар. Найдите вероятность того, что этот шар белый.

· Вероятность того, что посаженное семечко взойдёт равно 0,8. Найти вероятность того, что из 5 семян взойдет не менее 4-х семян; хотя бы одно семя.

 

Вариант 3.

· В шахматном турнире участвует 9 человек. Каждый играет с каждым шахматистом. Сколько партий сыграно?

· В семье 6 человек, за столом на кухне тоже 6 мест. Сколько способов существует размещения за столом всех членов семьи?

· Найти сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1,3,5,7 (без их повторения).

· В лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных призов. Какова вероятность выигрыша?

· Таня и Маша бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто бросил больше очков. Если количество очков совпадает, то ничья. Найти вероятность того, что Маша проиграла, если в сумме у них 8 очков.

· Группа туристов в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирает по жребию 4-х дежурных. Найти вероятность того, что выбрано 2 девушки и 2 юноши.

· Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

· За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть один мальчик.

· Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны 0,8; 0,7; 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при залпе из всех орудий.

· Вероятность попадания в цель хотя бы один раз при двух выстрелах равна 0,75. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

· Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 11. Отв. 11/12

· На экзамене было 24 билета по 2 вопроса в каждом. Иван не выучил 10 вопросов. Найти вероятность того, что Ивану попадется билет все вопросы которого он знает.

· Электролампы изготавливаются на трех заводах. 1-й завод производит 30% общего количества ламп, 2-й – 55%, а 3-й – остальную часть. Продукция 1-го завода содержит 1% бракованных ламп, 2-го – 1,5%, 3-го – 2%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Купленная лампа оказалась с браком. Какова вероятность того, что она произведена 2-м заводом?

· В студенческой группе 3 человека имеют высокий уровень подготовки, 19 человек – средний и 3 – низкий. Вероятности успешной сдачи экзамена для данных студентов соответственно равны: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно, что некоторый студент сдал экзамен.

· На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

· Стрелок стреляет по мишени 7 раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,09. Нати вероятность того, что стрелок промахнется ровно 3 раза.