Осаждение (всплывание) твердых частиц в покоящейся жидкости или газе

 

Осаждение (падение) твердых тел в покоящейся жидкости или газе может быть:

 - свободным, когда на падающее тело не оказывают влияние стенки емкости, где происходит осаждение, а также соседние твердые тела;

 - стесненным, когда на характер осаждения тела влияют соседние тела и стенки емкости;

 - стесненным осаждение однородных по крупности, плотности и форме частиц;

 - стесненным осаждение неоднородных частиц.

Осаждение (движение) твердых частиц в покоящейся или сравнительно медленно движущейся жидкости или газе является, как правило, равномерным. Скорость равномерного движения твердой частицы u в достаточно большом объеме покоящейся жидкости (свободное осаждение) получило название гидравлической крупности, u₀. В случае газа, когда частица находится в нем во взвешенном состоянии, говорят о скорости витания. Под этой скоростью понимают скорость вертикального потока газа, удерживающего частицу в газе во взвешенном состоянии.

Возьмем твердую частицу сферической формы диаметром d и массой m, которая осаждается в большом объеме воды. Для данного случая можно написать уравнение равновесия применительно к данной частице:

F _a =G-F,                                                     (11)

где F _a – сила инерции, F _a =m a;

G – вес частицы с учетом ее взвешивания в воде;

F – сила полного сопротивления движению (сила лобового сопротивления).

В связи с тем, что принимается равномерное движение твердой частицы в жидкости, то при таком движении ускорение частицы а = = 0.

Следовательно, можно написать: G = F. Это же соотношение имеет место и при определении скорости витания частицы в газе.

Вес частицы сферической формы с учетом архимедовой силы:

G=(ρ_т–ρ_о) ,                                           (12)

где ρ_т – плотность твердой частицы;

ρ_о – плотность воды.

Сила лобового сопротивления при падении частицы:

F=C_φ ρ₀ ,                                             (13)

где u_o – скорость равномерного движения частицы в воде.

Приравнивания значения G и F, и сделав некоторые преобразования, получим, что скорость осаждения (гидравлическая крупность) равна:

u₀= .                                     (14)

Зная значение коэффициента лобового сопротивление C_φ, зависящего от числа Рейнольдса, можно вычислить гидравлическую крупность твердой частицы.

В случае, когда ρ_о>ρ_т будет происходить всплывание частицы и скорость всплывания:

u₀= .                                  (15)

Однако недостатком уравнений (14) или (15) является то, что мы имеем сложные зависимости коэффициента лобового сопротивления частицы С_φ от числа Рейнольдса, а также влияние  ряда других факторов.

Зависимость С_φ=f(Rе) имеет важное значение при определении гидравлической крупности (см. рис.1). При определении С_φ можно выделить четыре основных зоны (рис.1б):

1. Rе<1. В этой зоне коэффициент лобового сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса, а обтекание шара является ламинарным;

2. 1<Rе<10³ – коэффициент лобового сопротивления убывает не так резко, как в первой зоне, постепенно приближаясь к постоянной величине;

3. 10³<Rе<10⁵ - зона обтекания; коэффициент лобового сопротивления является приблизительно постоянным, ее называют зоной локальной автомодельности по Re;

4. 10⁵<Rе<10⁶– критическая зона, в которой при Rе_k≈2·10⁵÷3·10⁵ происходит резкое падение коэффициента лобового сопротивления, т.е. кризис сопротивления.

При Re≥Rе_k происходит отрыв турбулентного слоя.

При движении весьма малых частиц (Rе<1) уравнение(13) в соответствии с равенством С_φ=  приобретает вид уравнения Стокса:

u₀= gd² .                                   (16)

Некоторая степень неточности при определении u₀ имеет место в связи с тем, что частицы имеют форму несколько отличную от сферической. Поэтому берется осредненная величина диаметра частицы, т.е. эквивалентный ее диаметр d_э:

d_э= ,                                              (17)

где W – объем твердой частицы, который соответствует объему шара диаметром d_э.

Коэффициент С_φ можно связать с числом Архимеда.

Запишем равенство G=F

(ρ_т-ρ_о) =C_φ ρ₀ .                                    (18)

Разделим левую и правую часть тождества (18) на константу  и сделаем некоторые преобразования (ν-кинематический коэффициент вязкости жидкости)

.                                   (19)

Число Архимеда:

Аr= .                                        (20)

После подстановки получим: С_φ= , тогда

Число Рейнольдса

Rе=                                                    (21)

Имея экспериментальные данные по скорости осаждения частиц в зависимости от их размеров и физических свойств жидкости, можно получить выражение Rе=f(Аr).

Результаты экспериментальных значений по С_φ, согласно данным Л. Прандтля [8], приведены в таблице 2.

 

                                                                                                                       Таблица 2

Обтекание
Шара			Цилиндра
Rе	Сφ	Аr	Rе	Сφ	Аr
10–2	2400,00	0,18	10–2	628,00	4,7·10-2
10-1	245,00	1,84	10-1	58,00	43,5·10-2
1	28,00	21,00	1	10,00	7,5
10	4,40	3,3·102	10	2,60	1,9·102
102	1,10	6,2·103	102	1,45	1,1 104
103	0,46	3,4·105	103	0,98	7,4·105
104	0,42	3,2·107	104	1,12	8,4·107
105	0,49	3,7·109	105	1,28	9,2·109
106	0,14	1011	106	0,35	2,6·1011

 

В таблице 3 представлены значения гидравлической крупности u₀ в зависимости от диаметра d частиц песчано-гравийных грунтов.

 

    Таблица 3

d, мм	0,01	0,03	0,05	0,08	0,10	0,13	0,15	0,18
u0, мм/с	0,07	0,62	1,73	4,43	6,92	11,6	15,6	17,4
d, мм	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	0,55
u0, мм/с	21,6	27,0	32,4	37,8	43,2	48,6	54,0	59,4
d, мм	0,60	0,65	0,70	0,75	0,80	0,85	0,9	0,95
u0, мм/с	64,8	70,2	73,2	77,0	80,7	84,0	87,5	90,6
d, мм	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,25	2,5	2,75
u0, мм/с	94,4	115,0	125,6	139,2	152,9	166,2	176,5	185,0
d, мм	3,00	3,25	3,5	3,75	4,00	4,25	4,75	5,00
u0, мм/с	102,5	201,2	208,5	215,5	222,5	229,5	236,5	249,0