Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2020-04-01 | 150 |
5.00
из
|
Заказать работу |
При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид:
5x2 + 4xy + 2y2 + 8x - 6y + 5 = 0 (3.2)
Приведем уравнение кривой (3.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.
a) Характеристическое уравнения для данной кривой будет иметь вид:
A(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2
Откуда следует, корни характеристического уравнения есть: l1 = 1, l2 = 6.
Расположение эллипса относительно начальной системы координат будет известно, если мы будем знать координаты центра и угловой коэффициент вещественной оси эллипса.
Уравнения для определения координат центра имеют вид:
Откуда мы находим x0 = - и y0 = . Следовательно, точка O ¢ (- , ) есть центр данной кривой.
Угловой коэффициент оси O ¢ X можем определить по формуле:
б) Совершим параллельный перенос начала координат в точку O ¢ (x0, y0). При этом координаты x, yпроизвольной точки плоскости в системе координат xOy и координаты x ', y ' в новой системе координат x ' O ' y ' связаны соотношениями:
Подставив данные выражения в уравнение (3.1), получим:
5(x0 + x¢)2 + 4(x0 + x¢)(y0 + y¢) + 2(y0 + y¢)2 + 8(x0 + x¢) - 6(y0 + y¢) + 5=0
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:
5x¢2+4x¢y¢+2y¢2+(10x0+4x0 + 8)x¢ + (4x0 + 4y0 - 6)y¢ + (5x02 + 4x0y0 + 2y02 + 8x0 - 6y0 + 5) = 0 (3.3)
В данном уравнении коэффициенты при x¢ и y¢ приравняем к нулю и получим систему уравнений:
Решив эту систему уравнений, мы получим, найденные уже раннее, координаты центра O ¢, x0 = - и y0 = . Подставив данные значения в уравнение (3.3), коэффициенты при x¢ и y¢ станут равными нулю, мы получим уравнение в системе координат x ' O ' y ':
5x¢2 + 4x¢y¢ + 2y¢2 + () = 0
5x¢2 + 4x¢y¢ + 2y¢2 - = 0 (3.4)
в) Так как a12 = 2 ¹ 0, то для дальнейшего упрощения необходимо произвести поворота осей координат на угол a. При повороте осей координат на угол a координаты x', y' произвольной точки М плоскости в системе координат x ' O ' y ' и координаты X, Y в новой системе координат XO'Y связаны соотношениями:
Подставим данные выражения в уравнение (3.4), получим:
5(Xcosa - Ysina)2 + 4(Xcosa - Ysina)(Xsina + Ycosa) + 2(Xsina + Ycosa)2 - = 0
(5cos2a + 4sinacosa + 2sin2a)X2 + (-6sinacosa + 4cos2a - 4sin2a)XY +
(5sin2a - 4sinacosa + 2cos2a)Y2 - = 0 (3.5)
В полученном выражении найдём такой угол a, чтобы коэффициент при XY стал равен нулю, для этого необходимо:
-6sinacosa + 4cos2a - 4sin2a = 0
2tg2a + 3tga - 2=0
Откуда, при решении, находим два значения tga = -2 и tga = .
В первом задании мы нашли, что угловой коэффициент вещественной оси O ' X эллипса равен k = -2. Так как угловой коэффициент равен тангенсу, то из двух найдённых значений выберем tga = -2. Следовательно:
cosa = , sina =
Подставив данные значения для sina и cosa в уравнение (3.5), коэффициент при XY станет равным нулю, получим:
()X2 + ()Y2 - = 0
X2 + 6Y2 - = 0
(3.6)
- это каноническое уравнение данной кривой (3.1) при a = 0.
Построение графиков
Подтвердим результаты проведённого исследования данного уравнения кривой (3.1) второго порядка, построив соответствующие графики кривых при разных a.
При a = 3 уравнение (3.1) принимает вид:
2x2 + 4xy + 3y2 + 8x – 6y +5 = 0
Графиком данного уравнения является парабола:
При a = 6 уравнение (3.1) принимает вид:
x2 + 4xy + 3y2 + 8y2 – 6y +5 = 0
Графиком данного уравнения является гипербола:
При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид
5x2 + 4xy + 3y2 + 8y2 – 6y +5 = 0
Графиком данного уравнения является эллипс. Изобразим в данной системе также график канонического уравнения эллипса (3.6):
Вывод
Исследовав данное общее уравнение кривой второго порядка, мы установили, что при значении параметра a = 0 уравнение задаёт эллипс. Привели уравнение к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота. При параллельном переносе коэффициенты при первых степенях стали равны нулю, при повороте координатных осей коэффициенты при смешанном произведении стали равны нулю. Построили графики для всех фигур, которое может задавать данное уравнение, построили график эллипса в общей и канонической системе координат.
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!