Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2020-04-01 | 131 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пример 3. Решить уравнения
a) log3 x + log3(x + 3) = log3(x + 24), |
b) log4(x 2 - 4 x + 1) - log4(x 2 - 6 x + 5) = -1/2 |
c) log2 x + log3 x = 1 |
Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)
x > 0, | |
x +3 > 0, | |
x +24 > 0. |
Используя свойство P2 и утверждение 1, получим
|
| | |||||||||||||||
|
|
| x = 4. | ||||||||||||||
b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения
откуда, используя определение логарифма, получим
или
x 2 - 4 x + 1 = 1/2(x 2 - 6 x + 5),
откуда получаем уравнение
x 2 - 2 x - 3 = 0
с решениями x 1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
c) ОДЗ уравнения: x (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение
log2 x (1 + log32) = 1,
откуда или или log2 x = log63. Следовательно,
Логарифмические неравенства
Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log a f (x) > log a g (x) равносильно системе неравенств
f (x) > g (x), | |
g (x) > 0. |
Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log a f (x) > log a g (x) равносильно системе неравенств
f (x) < g (x), | |
f (x) > 0. |
Утверждение 3. Неравенство log h (x) f (x) > log h (x) g (x) равносильно совокупности систем неравенств
|
h (x) > 1, | ||
f (x) > g (x) > 0, | ||
0 < h (x) < 1, | ||
0 < f (x) < g (x). |
Подчеркнем, что в неравенстве log a f (x) > log a g (x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥, <, ≤. В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
Пример 1. Решить неравенства
a) log3(x 2 - x) ≥ log3(x + 8); | |
b) | |
c) |
Решение. a) Используя утверждение 1, получим
log3(x 2 - x) ≥ log3(x + 8) | x 2 - x ≥ x + 8, | x 2 - 2 x - 8 ≥ 0, | ||
x +8 > 0, | x > -8, |
x ≤ -2, | |||
x ≥ 4, | x (-8;-2] [4;+∞). | ||
x > -8, |
b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим
c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим
Запишем и, используя утверждение 2, получим
Показательные уравнения и неравенства
Показательные уравнения
Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида
Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению
Пример 1. Решить уравнение
.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:
.
Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:
Если после введения новой переменной показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.
Показательные неравенства
Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:
A.1. Если a > 1, неравенство
a f (x) > a g (x)
равносильно неравенству
f (x) > g (x).
Аналогично, a f (x) < a g (x); f (x) < g (x).
|
A.2. Если 0 < a < 1, неравенство
a f (x) > a g (x)
равносильно неравенству
f (x) < g (x).
Аналогично, a f (x) < a g (x); f (x) > g (x).
A.3. Неравенство
[ h (x)] f (x) > [ h (x)] g (x) | (1) |
равносильно совокупности систем неравенств
h (x) > 1, | ||
f (x) > g (x), | ||
0 < h (x) < 1, | ||
f (x) < g (x). |
Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай
h (x) = 1, | |
x D (f); D (g), |
где D (f) (D (g)) означает область определения функции f (g).
A.4. Если b ≥ 0, неравенство
af (x) < b
не имеет решений (следует из свойств показательной функции).
A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af (x) > b является x D (f).
A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство
af (x) > b
равносильно неравенству
f (x) > log ab.
Аналогично, a f (x) < b; f (x) < log ab.
A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство
a f (x) > b
равносильно неравенству
f (x) < log ab.
Аналогично, a f (x) < b; f (x) > log ab.
Упражнение 1. Решить неравенства:
a) | |
b) (0.3)|2 x -3| < (0.3)|3 x +4|, | |
c) | |
Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство
которое решается методом интервалов,
b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство
|2 x -3| > |3 x +4|,
которое решается, используя свойства модуля (| a | > | b | (a - b)(a + b) > 0):
|2 x -3| > |3 x +4| ((2 x -3)-(3 x +4)) ((2 x -3)+(3 x +4)) > 0 (- x -7)(5 x +1) > 0
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-1/5).
c) Используя утверждение A.3, получим
|
|
|
|
|
Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
|
Список литературы
1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975
2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004
3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.
4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980
5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!