Логарифмические уравнения и неравенства

Введение

 

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения

 

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

 

log _a x = b.                                                                                         (1)

 

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

 

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

 

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2³ или x = 8; b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

 

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

 

log _a N ₁· N ₂ = log _a N ₁ + log _a N ₂ (a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

 

Замечание. Если N ₁· N ₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

 

log _a N ₁· N ₂ = log _a | N ₁| + log _a | N ₂| (a > 0, a ≠ 1, N ₁· N ₂ > 0).

 

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

 

 (a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

 

Замечание. Если , (что равносильно N ₁ N ₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

 

 (a > 0, a ≠ 1, N ₁ N ₂ > 0).

 

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

 

log _a N ^k = k log _a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

 

Замечание. Если k - четное число (k = 2 s), то

 

log _a N ^{2 s} = 2 s log _a | N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

 

P5. Формула перехода к другому основанию:

 

 (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

 

в частности, если N = b, получим

 

   (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

 

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

 

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

  (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

 

и, если в (5) c - четное число (c = 2 n), имеет место

 

     (b > 0, a ≠ 0, | a | ≠ 1). (6)

 

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x) = log _a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x ₁ < x ₂ log _a x ₁ < log _a x ₂), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x ₁ < x ₂ log _a x ₁ > log _a x ₂).

4. log _a 1 = 0 и log _a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).

6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log _a f (x) = log _a g (x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

 

	f (x) = g (x),			f (x) = g (x),
	f (x) > 0,			g (x) > 0.

 

Утверждение 3. Уравнение log _{h (x)} f (x) = log _{h (x)} g (x) равносильно одной из систем

 

	f (x) = g (x),			f (x) = g (x),
	h (x) > 0,			h (x) > 0,
	h (x) ≠ 1,			h (x) ≠ 1,
	f (x) > 0,			g (x) > 0.

 

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f (x) = g (x) и log _a f (x) = log _a g (x)

 

или

 

log _a [ f (x)· g (x)] = b и log _a f (x) + log _a g (x) = b

 

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

 

Пример 1. Решить уравнения

 

a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,	c) log(x - 2)9 = 2,
b)	d) log2 x + 1(2 x 2 - 8 x + 15) = 2.

 

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log _ab = c, b = a^c и, следовательно,

 

5 + 3log₂(x - 3) = 2³

 

или

 

3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

 

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2¹, x = 5.

 

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

 

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

 

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

 

 

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

 

(x - 2)² = 9.

 

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x ² - 4 x - 5 = 0 с решениями x ₁ = -1 и x ₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

 

(2 x ² - 8 x + 15) = (2 x + 1)²

 

или, после элементарных преобразований,

x ² + 6 x -7 = 0,

откуда x ₁ = -7 и x ₂ = 1. После проверки остается x = 1.

 

Логарифмические неравенства

 

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log _a f (x) > log _a g (x) равносильно системе неравенств

 

	f (x) > g (x),
	g (x) > 0.

 

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log _a f (x) > log _a g (x) равносильно системе неравенств

 

	f (x) < g (x),
	f (x) > 0.

 

Утверждение 3. Неравенство log _{h (x)} f (x) > log _{h (x)} g (x) равносильно совокупности систем неравенств

 

		h (x) > 1,
		f (x) > g (x) > 0,
		0 < h (x) < 1,
		0 < f (x) < g (x).

 

 

Подчеркнем, что в неравенстве log _a f (x) > log _a g (x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥, <, ≤. В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

 

a) log3(x 2 - x) ≥ log3(x + 8);
b)
c)

 

Решение. a) Используя утверждение 1, получим

 

log3(x 2 - x) ≥ log3(x + 8)	x 2 - x ≥ x + 8,		x 2 - 2 x - 8 ≥ 0,
	x +8 > 0,		x > -8,

 

		x ≤ -2,
		x ≥ 4,	x  (-8;-2] [4;+∞).
		x > -8,

 

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

 

 

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

 

 

Запишем и, используя утверждение 2, получим

 

Показательные уравнения

Пример 1. Решить уравнение

.

Показательные неравенства

 

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a ^{f (x)} > a ^{g (x)}

 

равносильно неравенству

f (x) > g (x).

Аналогично, a ^{f (x)} < a ^{g (x)}; f (x) < g (x).

 

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^{f (x)} > a ^{g (x)}

 

равносильно неравенству

f (x) < g (x).

Аналогично, a ^{f (x)} < a ^{g (x)}; f (x) > g (x).

 

A.3. Неравенство

 

[ h (x)] f (x) > [ h (x)] g (x)

(1)

 

равносильно совокупности систем неравенств

 

		h (x) > 1,
		f (x) > g (x),
		0 < h (x) < 1,
		f (x) < g (x).

 

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

 

	h (x) = 1,
	x  D (f); D (g),

 

где D (f) (D (g)) означает область определения функции f (g).

A.4. Если b ≥ 0, неравенство

a^{f (x)} < b

 

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства a^{f (x)} > b является x D (f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство

a^{f (x)} > b

 

равносильно неравенству

f (x) > log _ab.

Аналогично, a ^{f (x)} < b; f (x) < log _ab.

 

A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство

a ^{f (x)} > b

 

равносильно неравенству

f (x) < log _ab.

Аналогично, a ^{f (x)} < b; f (x) > log _ab.

 

Упражнение 1. Решить неравенства:

 

a)
b) (0.3)|2 x -3| < (0.3)|3 x +4|,
c)

 

Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство

 

 

которое решается методом интервалов,

 

 

b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство

 

|2 x -3| > |3 x +4|,

 

которое решается, используя свойства модуля (| a | > | b |  (a - b)(a + b) > 0):

 

|2 x -3| > |3 x +4|  ((2 x -3)-(3 x +4)) ((2 x -3)+(3 x +4)) > 0 (- x -7)(5 x +1) > 0

 

Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-¹/₅).

c) Используя утверждение A.3, получим

 

4 x 2+2 x +1 > 1, x 2- x > 0, 4 x 2+2 x +1 < 1, 4 x 2+2 x +1 > 0, x 2- x < 0

x > 0, x < -12, x > 1, x < 0, x (-12;0), x R, x (0;1).

 

 

 

x  (- ; -12) (1;+ ), x

x (- ;- 12) (1;+ ).

Заключение

 

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

 

Список литературы

1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975

2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004

3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.

4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980

5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970

Введение

 

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения

 

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

 

log _a x = b.                                                                                         (1)

 

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

 

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

 

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2³ или x = 8; b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

 

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

 

log _a N ₁· N ₂ = log _a N ₁ + log _a N ₂ (a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

 

Замечание. Если N ₁· N ₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

 

log _a N ₁· N ₂ = log _a | N ₁| + log _a | N ₂| (a > 0, a ≠ 1, N ₁· N ₂ > 0).

 

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

 

 (a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

 

Замечание. Если , (что равносильно N ₁ N ₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

 

 (a > 0, a ≠ 1, N ₁ N ₂ > 0).

 

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

 

log _a N ^k = k log _a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

 

Замечание. Если k - четное число (k = 2 s), то

 

log _a N ^{2 s} = 2 s log _a | N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

 

P5. Формула перехода к другому основанию:

 

 (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

 

в частности, если N = b, получим

 

   (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

 

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

 

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

  (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

 

и, если в (5) c - четное число (c = 2 n), имеет место

 

     (b > 0, a ≠ 0, | a | ≠ 1). (6)

 

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x) = log _a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x ₁ < x ₂ log _a x ₁ < log _a x ₂), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x ₁ < x ₂ log _a x ₁ > log _a x ₂).

4. log _a 1 = 0 и log _a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).

6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log _a f (x) = log _a g (x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

 

	f (x) = g (x),			f (x) = g (x),
	f (x) > 0,			g (x) > 0.

 

Утверждение 3. Уравнение log _{h (x)} f (x) = log _{h (x)} g (x) равносильно одной из систем

 

	f (x) = g (x),			f (x) = g (x),
	h (x) > 0,			h (x) > 0,
	h (x) ≠ 1,			h (x) ≠ 1,
	f (x) > 0,			g (x) > 0.

 

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f (x) = g (x) и log _a f (x) = log _a g (x)

 

или

 

log _a [ f (x)· g (x)] = b и log _a f (x) + log _a g (x) = b

 

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

 

Пример 1. Решить уравнения

 

a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,	c) log(x - 2)9 = 2,
b)	d) log2 x + 1(2 x 2 - 8 x + 15) = 2.

 

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log _ab = c, b = a^c и, следовательно,

 

5 + 3log₂(x - 3) = 2³

 

или

 

3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

 

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2¹, x = 5.

 

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

 

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

 

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

 

 

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

 

(x - 2)² = 9.

 

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x ² - 4 x - 5 = 0 с решениями x ₁ = -1 и x ₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

 

(2 x ² - 8 x + 15) = (2 x + 1)²

 

или, после элементарных преобразований,

x ² + 6 x -7 = 0,

откуда x ₁ = -7 и x ₂ = 1. После проверки остается x = 1.