Стохастические модели ТП. Моделирование работы АТС и погрузочно-разгрузочных средств как системы массового обслуживания

 

Основные понятия теории массового обслуживания. В произ­водственной деятельности автомобильного транспорта постоян­но встречаются ситуации, когда появляется потребность в по­грузке или разгрузке большого количества автомобилей, прибы­вающих в случайные моменты времени. При этом мощность погрузочно-разгрузочных пунктов, как правило, ограничена. Это приводит к созданию очередей автомобилей, когда все посты погрузки-разгрузки заняты, или к простою погрузочно-разгру­зочных средств, если выделено недостаточное количество авто­мобилей.

Оптимизацией таких процессов занимается теория массового обслуживания, которая является разделом теории вероятностей.

С помощью теории массового обслуживания решаются задачи организации и планирования процессов, в которых, с одной сто­роны, постоянно в случайные моменты времени возникает тре­бование выполнения каких-либо работ, а с другой — постоянно происходит удовлетворение этих требований, время выполнения которых является также случайной величиной.

Система массового обслуживания характеризуется структурой, которая определяется составом входящих в нее элементов и функ­циональными связями между ними. К этим элементам относятся следующие.

1) Требование — это запрос на удовлетворение некоторой потреб­ности в выполнении работ.

2) Очереди требований — это число требований, ожидающих об­служивания. Очередь характеризуется своей величиной, которая, как правило, переменная, и средним временем простоя одного требования в ожидании обслуживания (toб).

3) Входящий поток — совокупность требований, поступающих с определенной закономерностью. Входящий поток характеризует­ся интенсивностью λ, нагрузкой на одно требование q и законом распределения, который описывает распределение требований по времени.

Интенсивность поступления требований — это среднее число требований, поступающих в систему за единицу времени:

λ =1/T                                           (1.57)

где Т — среднее значение интервала между поступлением оче­редных требований.

Для автомобилей нагрузка на одно требование будет совпадать со средней величиной их фактической грузоподъемности.

Процесс поступления в систему массового обслуживания по­тока требований является вероятностным и представляет собой поток однородных или неоднородных событий, которые наступа­ют через случайные промежутки времени. Случайные промежутки времени между наступлениями событий в потоке могут подчи­няться различным законам распределения. Однако в подавляющем числе случаев рассматривается пуассоновский (простейший) поток, в котором вероятность поступления в промежуток времени равно к требований задается формулой Пуассона:

 Pk(t) = [(λt)k/k!]еxp(-λt).                      (1.58)

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ста­ционарностью, отсутствием последействия, ординарностью по­тока требований.

Случайный поток называется стационарным, если вероятность поступления определенного количества требований в течение оп­ределенного отрезка времени зависит от его величины и не зави­сит от начала отсчета времени работы системы. Таким образом, два простейших потока будут отличаться друг от друга только сво­ими параметрами λ.

Отсутствие последействия состоит в том, что вероятность по­ступления за отрезок времени t определенного числа требований не зависит от того, сколько требований уже поступило в систему, т. е. не зависит от числа уже обслуженных требований. Отсутствие последействия предполагает взаимную независимость протекания процесса в не перекрывающиеся между собой промежутки вре­мени.

Ординарность потока требований означает практическую не­возможность появления двух и более требований в один и тот же момент времени.

Выходящий поток — это поток требований, покидающих сис­тему обслуживания. Требования этого потока могут быть обслуже­ны или не обслужены в системе. Этот поток может оказаться вхо­дящим для другой группы обслуживающих устройств.

Обслуживающие устройства — средства, которые осуществляют обслуживание. Обслуживающие устройства характеризуются своей производительностью V и надежностью.

Производительность устройства, которая часто называется интенсивностью обслуживания, определяется по формуле:

V=1/tоб.                                      (1.58)

Обслуживающая система — совокупность обслуживающих уст­ройств.

Каждой из систем массового обслуживания свойственна опре­деленная организация. По своему составу эти системы можно раз­делить на одноканальные и многоканальные. Многоканальные сис­темы могут обслуживать несколько требований одновременно. При этом многоканальные системы могут быть однотипными или разно­типными, в которых обслуживающие устройства, работающие па­раллельно, имеют разную производительность.

 

Аналитические методы моделирования

Для пуассоновских систем массового обслуживания разработаны методы, позволяющие достаточно просто аналитически рассчитывать их характеристики.

Системы с отказом в обслуживании являются наиболее просты­ми. В таких системах каждое поступающее требование либо обслуживается, если обслуживающее устройство свободно, либо теряет­ся. Характерным примером такой системы является традиционная телефонная связь. Если абонент свободен, поступающий звонок соединяется с ним, если занят, звонок приходится повторять.

Коэффициент загрузки системы определяет минимальное число обслуживающих устройств, которое необходимо иметь в системе для предотвращения роста очереди на обслуживание:

 α= λtоб=λ/v.                                       (1.59)

Вероятность того, что обслуживанием поступающих требова­ний заняты к устройств, равна

Pk=(ak/k!)/ Σ(ak/k!),                         (1.60)

где k изменяется от 0 до n — числа обслуживающих устройств.

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны: Pk=1/ Σ(ak/k!).                                   (1.61)

Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты: Pn=P0/(ak/k!).                              (1.62)

Системы с неограниченным потоком требований относятся к ра­зомкнутым системам. В таких системах отсутствует связь между обслуженными требованиями и требованиями, поступающими на обслуживание. Другими словами, работа системы никак не влияет на характеристики входящего потока. К таким системам можно отнести работу ПРП, обслуживающих ПС, занятый на междуго­родных или международных перевозках.

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны: .                 (1.63)

Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты: Pn=(Po αn)/[(n-1)!(n-α)].                          (1.64)

Среднее вреднее время ожидания обслуживания

t=(Pntоб)/(n-α).                                     (1.65)

Среднее число требований, ожидающих обслуживания:

 Aож= (α Pn)n(1- α/n)2.                        (1.66)

Среднее число простаивающих обслуживающих устройств за единицу времени:

                       (1.67)

Потери от простоя АТС можно определить по формуле:

Ca=tожСпр.а λ.                             (1.68)

Потери от простоя ПРМ

Спрм=NожСпр.прм                          (1.69)

где Спр.а и Спрпрм — удельные потери от простоя АТС и ПРМ соответственно.

Системы с ограниченным потоком требований относятся к зам­кнутым системам. В таких системах ярко выражена связь между обслуженными требованиями и требованиями, поступающими ни обслуживание, так как после обслуживания эти требования вновь возвращаются на следующее обслуживание. Работа такой системы существенно влияет на характеристики входящего потока. К подобным можно отнести работу ПРП, обслуживающих постоянный состав АТС, занятых на коротких городских и строи­тельных перевозках.

Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны:           (1.70)

Среднее число требований, ожидающих обслуживания:

.                   (1.71)

Среднее число простаивающих обслуживающих устройств за единицу времени

                   (1.72)

 

Вопросы для повторения

 

1. Что такое система массового обслуживания?

2. Что такое требование, очереди требований,?

3. Что такое отсутствие последействия, ординарность потока требований?

4. Что такое выходящий поток, входящий поток,

5. Что такое обслуживающие устройства и обслуживающая система?

6. Зависимость коэффициента системы?

7. Что такое система с ограниченным потоком требований?

8. Что такое система с неограниченным потоком требований?

Планирование  и управление  грузовыми перевозками

 

Планирование перевозок грузов

 

Принципы планирования грузовых перевозок

Планирование грузовых перевозок подразделяется на перспективное, текущее и оперативное.

Перспективное (стратегическое) планирование включает в себя разработку основных направлений и показателей деятельности длительный период от 5 до 15 лет. В его рамках все расчеты выполняются на основании прогнозов развития экономических и социальных процессов в регионе и анализа рыночной конъюнктур. При перспективном планировании большое значение имеет правильное использование современных методов прогнозирования.

Прогнозируемые объемы перевозок промышленных грузов определяются относительно объемов существующих перевозок и прогнозов развития промышленности по следующей формуле:

Qп = QcKиKп,

(2.1)

где Qп — прогнозируемый объем грузов, перевозимых автотранспортом, тыс. т; Qc — фактический объем грузов, перевозимых автотранспортом в существующий период, тыс. т; Ки — коэффициент изменения объема промышленных грузов к прогнозируемому сроку; Кп — коэффициент повторности перевозок промышленных грузов, Кп = 1,05... 1,2.

Ки =КСНVП/VC

(2.2)

где Ксн — коэффициент, учитывающий снижение материалоемкости промышленного производства и снижение объемов автомобильных перевозок, приходящихся на 1 млн р. валовой продукции промышленности, ориентировочно Ксн = 0,95...0,98; Vп - валовая продукция промышленности к прогнозируемому сроку млн р.; Vс — валовая продукция промышленности на существующий период, млн р.

Прогнозируемый объем перевозок строительных грузов определя­ется исходя из планируемых объемов строительства отдельно по строительству промышленных и гражданских объектов.

Объем перевозок для грузов промышленного строительства рассчитывается по формуле:

Qп=Kн{Kп[0,01Σ(CпHпc)+0,005Σ(СпНрс)]+0,01[ΣCп+0,5Σ(СпНм)]}/Y,

(2.3)

где Кн — коэффициент неравномерности строительства по годам, Кн - 1,3... 1,4; Кп — коэффициент повторности перевозок грузов промышленного строительства, Кп = 1,1... 1,4; Сп — стоимость промышленного строительства, выполняемого в расчет­ный период, млн р.; Нпс — средние нормы расхода строитель­ных материалов, деталей и конструкций, тыс. т на 100 тыс. р. сметной стоимости строительно-монтажных работ в зависимости от отрасли промышленности;             Нрс — средняя норма расхода строительных материалов и конструкций на 100 тыс. р. стоимости ремонта, Нрс = 4,0...6,0 тыс. т; Нм — средняя норма обра­зования строительного мусора на 100 тыс. р. стоимости промыш­ленного строительства и ремонта, Нм = 1,5...2,0 тыс. т;               Y — количество лет в рассматриваемом периоде.

Объем перевозок для грузов гражданского строительства опре­деляется по следующей формуле:

Qп=Кн{Кп[Σ(СжНж)+0,01Σ(Ск-бНк-б)+ 0,01*Σ(СнНн)+ +0,001Σ(RHр)]+0,01Σ(Сж+Ск-б+Сн+R)Нм}/Y,

(2.4)

где Сж — объем строительства нового жилищного фонда, прогнозируемый на рассматриваемый период, тыс. м2 общей площади; Hж — средние нормы расхода строительных материалов и конструкций на одну тысячу кв. метров общей площади, тыс. т; Ск-б — стоимость строительства новых учреждений культурно-бытового обслуживания, млн р.; Hк-б — средняя норма расхода строительных материалов на 100тыс. р. сметной стоимости строительно-монтажных работ по учреждениям культурно-бытового назначения, Hк-б = 4,3...4,8 тыс. т;    Сн — стоимость нового коммунального строительства и инженерного оборудования, млн р.; Cн — средняя норма расхода строительных материалов на 100 тыс. р. сметной стоимости строительно-монтажных работ коммунального строительства и инженерного оборудования,       Hн = 4,0...6,0 тыс. т; R — стоимость ремонта объектов жилищного, культурно-бытового и коммунального строительства (принимается в размере 10...20% общей стоимости нового строитель­ства); Hр — средняя норма расхода строительных материалов на 100 тыс. р. сметной стоимости ремонтных строительно-монтаж­ных работ, Hр = 2,0...3,0 тыс. т; Нм — норма строительного му­сора от всех видов гражданского строительства на 100 тыс. р., Hм = 2,0...3,0 тыс. т.

Для расчетных целей можно принять следующие средние показатели массы строительных материалов в зависимости от типа жилищного строительства в тыс. т на 1 тыс. м2:

· деревянные дома                                            2,0

· каменные дома 2-этажные                             5,6

· каменные дома 3-этажные                             5,9

· каменные дома 4-этажные                             5,6

· каменные дома 5-этажные                             5,3

· крупнопанельные дома 3 — 5 этажей 4,3...4,4

· крупнопанельные дома 12— 16 этажей        4,2

Прогнозирование объемов перевозки потребительских грузов вы­полняется по нормам или уровню потребления на одного челове­ка с учетом массы перевозимой тары и повторности перевозок:

Qп = (1 + Kпp)Hпот N Kт KпKдн + Qоч+ Qт,

(2.5)

где Kпр — коэффициент, учитывающий долю промтоварных грузов по отношению к продовольственным грузам, принимае­мым за единицу, Kпр=0,25...0,35; Hпот — норма потребления продовольственных товаров на одного человека в год, Hпот = 1,0... 1,3 т, N — численность населения; Кдн — коэффициент, учитывающий дневное население региона как частное от деле­ния суммарного населения при маятниковой миграции на чис­ленность постоянного населения; Кт — коэффициент, учитыва­ющий массу тары, Кт = 1,1... 1,2; Кп — коэффициент повторно­сти перевозок потребительских грузов,     Кп = 1,3... 1,5; Qоч — масса грузов очистки, включающая перевозки твердых бытовых отходов (0,2 т на одного жителя в год), уличного смета (0,05 т на жителя) и снега (0,25 т на жителя); Qт — масса топливных грузов, включающая перевозки жидкого топлива (0,05...0,01 т на одного жителя в год) и твердого топлива для загородных домов (0,5 т на жителя).

При планировании провозных возможностей парка АТС исполь­зуется формула:

Q=Дк αв Σ(АспUр.д.)i,

(2.6)

где индекс i обозначает перебор списочного состава парка гру­зовых АТС по моделям, выполняющих определенное суточное задание.

На коэффициент выпуска αв при стабильной организации ра­боты основное влияние оказывает время простоя.

Объем груза, который перевозится за смену, Up.д., помимо дру­гих факторов, зависит от дорожных условий, технической скоро­сти ПС на линии, надежности АТС. Техническая скорость ПС с большими сроками службы снижается как за счет ухудшения тягово-динамических качеств, так и в связи с увеличением просто­ев на линии для устранения мелких неисправностей.

Текущее планирование проводится на год. В этом случае воз­можный объем работы и необходимые для его выполнения ресур­сы рассчитываются на основании имеющихся и подготовленных к заключению договоров.

При расчете ресурсов, необходимых для освоения объемов ра­бот по договорам, используют коэффициент запаса, который дол­жен учитывать выработку ресурса ПС и возможность выполнения разовых заказов.

При составлении годового плана работы АТО по перевозкам грузов рассчитываются следующие показатели по типам ПС: ко­эффициент выпуска и использования парка АТС; автомобилей в работе; возможные объемы перевозок; годовой пробег, в том числе с грузом; требуемые ресурсы для поддержания АТС в рабо­тоспособном состоянии, расход топлива и ГСМ; себестоимость перевозок.

Оперативное планирование — это конкретизация плановых за­даний по времени выполнения, в пространстве (по местам вы­полнения производственных заданий), по специфике технологии и организации производства управляемого объекта (структура ПС, ПРМ, выбор технологии и т.д.). Оперативное планирование вклю­чает в себя разработку планов работы в целом АТО и конкретных АТС и водителей на месяц, неделю и смену.

Основным документом оперативного планирования является сменно-суточный план.

С одной стороны, сменно-суточный план составляется на ос­новании данных о потребностях в перевозках, которые складыва­ются из заключенных АТО договоров и поступивших разовых за­явок на перевозки. С другой стороны, оцениваются провозные воз­можности АТО на основании данных об исправном ПС и готовых к работе водителях.

 

Задачи оптимизации и их место в планировании перевозок

В настоящее время одним из главных путей повышения качества и эффективности работы AT является выбор вариантов использо­вания АТС, который включает в себя целый ряд задач, при реше­нии каждой из которых, начиная с получения заказа на выполне­ние перевозок, из множества вариантов должен выбираться опти­мальный, т.е. наилучший. В зависимости от вида решаемой задачи выбирается конкретный показатель, для которого стремятся най­ти наилучшее значение (например, минимальный пробег АТС, максимальная прибыль и т.д.). Такой показатель называется кри­терием оптимальности и является функцией независимых пара­метров (исходных данных) задачи

F = F(x1, х2,..., хn).

(2.7)

Уменьшение или увеличение значения критерия оптимальнос­ти определяется необходимостью выполнения различных требо­ваний заказчика, дорожными условиями, техническими парамет­рами АТС, ПРМ и т.д.

Показатели и характеристики, на значения которых наложены ограничения, являются также функциями независимых параме­тров и называются функциями ограничений, которые могут зада­ваться в виде равенств и неравенств:

R =Ri (X1, X2,..., Xn) = 0;Rj=Rj{X1, X2,..., Xn) < 0; Xк < 0.

(2.8)

При решении задач оптимизации необходимо определить и обосновать критерий оптимальности и четко выделить показатели и характеристики, принимаемые в качестве ограничений.

Совокупность формул, позволяющая для заданного набора значений параметров х1, х2,..., хn рассчитать значения функций ограничений и критерия оптимальности, называется математической моделью.

Особенности задач оптимизации на транспорте. Широкое использование методов оптимизации на AT неразрывно связано с развитием средств вычислительной техники, которая позволяет находить оптимальные решения в оперативном режиме, с учетом быстро меняющейся обстановки. Объективная предпосылка ис­пользования методов оптимального планирования перевозок за­ключается в том, что все задачи перевозочного процесса — задачи с экстремумом, причем определение наилучших решений вызы­вается условиями дефицитности, ограниченности заданных ре­сурсов.

Таким образом, выбор оптимального варианта — очередной, закономерный этап более высокой организации планирования и управления AT.

Специфические свойства задач планирования перевозочного процесса, особенно задач оперативного планирования, которые вызвали необходимость привлечения математического аппарата и современных средств вычислительной техники, следующие.

1.Подавляющее число таких задач являются многовариантными.

2.Задачи характеризуются ограниченностью времени на обра­ботку исходной информации.

3.Значительные исходные размеры задач. Это свойство особен­но характерно для крупных промышленных центров, где насчи­тывается большое число АТО, ГОП и ГПП.

4.Наличие большого числа существенных ограничений, неучет которых может привести к недопустимым вариантам транспорти­ровки

5.Различная периодичность решения. Так, попытки решения задач маршрутизации на любой плановый период, кроме сменно-суточного, оказывались бесплодными.

6.При планировании перевозочного процесса число пунктов разгрузки намного превышает число пунктов погрузки.

Основные методы оптимального планирования грузовых автомобильных перевозок. В зависимости от решаемой задачи в практике планирования перевозок для получения оптимальных решений применяют различные математические методы. В связи с тем, что в качестве критерия оптимальности, как правило, используют экономические показатели, часто такие методы носят название экономико-математических.

Линейное программирование — это математическая дисциплина, с помощью которой выполняется анализ и решение экстремальных задач с линейными связями и ограничениями.

Таким образом, экономическое содержание задач линейною программирования — отыскание наилучших способов использования наличных ресурсов, когда условия задачи выражаются сис­темой линейных уравнений (равенств или неравенств), содержа­щих неизвестные только первой степени. Многие задачи планиро­вания грузовых автоперевозок имеют именно такое содержание. Например, закрепление грузополучателей (ГПП) за грузоотправителями (ГОП), распределение автомобилей по объектам и мар­шрутам и т.д.

Для любых задач линейного программирования характерны следующие три условия:

1. наличие системы взаимосвязанных факторов;

2. строгое определение критерия оптимальности;точная формулировка условий,

3. ограничивающих использо­вание наличных ресурсов.

В математической форме общая задача линейного программи­рования состоит в максимизации или минимизации линейной функции:

 F=с1х1+с1х1+…+ cn xn                         (2.9)

от n вещественных переменных х1,х2,..., хn, удовлетворяющих условиям не отрицательности (x1 > 0, х2 > 0,..., хn > 0) и m линейным ограничениям.

Среди ограничений могут одновременно встречаться знаки «>», «<» и «=». Значения сi, аij, bj предполагаются известными.

В линейном программировании имеются различные методы решения соответствующих планово-экономических задач. Если имеются всего две переменные, может быть использован графи­ческий метод решения. Однако на практике для решения подавля­ющего большинства задач используются специальные эвристичес­кие алгоритмы, основные из которых будут рассмотрены ниже.

 

             (2.10)

К математическому программированию относятся также и ме­тоды нелинейного программирования. Соответствующие задачи в этом случае описываются нелинейными уравнениями.

Свойство нелинейности состоит в том, что результат взаимо­действия двух факторов не равен простой алгебраической сумме их действий. Функция принимает экстремальные значения в точ­ках, в которых значение ее первой производной равно нулю, т.е. необходимое условие минимума или максимума функции f’(х) = 0. Решение задачи нелинейного программиро­вания состоит в определении глобального экстремума.

Некоторые задачи планирования грузовых автоперевозок свя­заны с принятием ряда последовательных и поэтапных решений. Для решения таких задач используются методы динамического про­граммирования, в основе которых лежит совокупность приемов, позволяющих находить оптимальные решения, основанные на вычислении последствий каждого из принятых решений и выра­ботке оптимальных стратегий для последующего решения.

Кроме методов математического программирования, в реше­нии планово-экономических задач находят применение методы, созданные в прикладной математике. Эти методы базируются на теории вероятностей, математической статистике и теории мас­сового обслуживания. При построении стохастических моделей исходят из вероятностной трактовки экономического процесса и его параметров. При этом каждой входящей в модель величине приписывается не одно какое-либо число, а указывается вероят­ностный закон распределения значений этой величины и харак­теристики этого распределения (математическое ожидание, дис­персия и т.д.).

 

Вопросы для повторения

 

1. В чем заключаются особенности задач оптимизации на транспорте?

2. Что такое критерий оптимальности?

3. В чем особенность решения задач на транспорте методом линейного программирования?

4. Какие особенности характерны для задача линейного программирования?

5. В чем особенность решения задач на транспорте методом нелинейного программирования?

6. Как определить прогнозируемые объемы перевозок промышленных грузов?

7. Как определить прогнозируемые объемы перевозок промышленного строительства?

8. Как определить прогнозируемые объемы перевозок гражданского строительства?

9. Что такое текущее планирование?

10. Что такое оперативное планирование?

11. Что такое сменно-суточный план?