Пропорциональности и текучести

    Диаграмма растяжения. На диаграмме (рис. 4) по вертикальной оси отложены величины нагрузок Р, Н, а по горизонтальной оси — величины абсолютных удлине­ний образца ∆ l, мм.

     Вначале, до точки Р_пц, идет прямая линия. Это зна­чит, что удлинения пропорциональны нагрузкам, прила­гаемым к испытуемому образцу. Нагрузка, соответствую­щая точке Р_пц, называется нагрузкой предела пропорци­ональности. До предела пропорциональности в металле возникают только упругие деформации. Если нагрузку удалить, то образец возвратится в первоначальное состояние и никаких остающихся удлинений в образце обнаружено не будет.

     При дальнейшем повышении нагрузки прямолиней­ность нарушается и прямая переходит в кривую, т. е. происходит нарушение пропорциональности между на­пряжением и удлинением, и в образце начинают возникать остаточные удлинения.

При растяжении образца низкоуглеродистой стали при повышении нагрузки выше Р_пц начинается значи­тельное отклонение кривой, которая затем переходит в горизонтальную или почти горизонтальную линию, что указывает на то, что в этот момент удлинение образца увеличивается без возрастания нагрузки. Материал как бы течет, поэтому нагрузка, соответствующая горизон­тальному участку на кривой, называется нагрузкой Р_т, соответствующей пределу текучести (физическому).

Если при растяжении образца не образуется горизон­тальной площадки, то за нагрузку предела текучести принимают ту нагрузку, которая вызывает остаточное удлинение, равное 0,2% расчетной длины образца, и обозначают P _0,2 — нагрузка, соответствующая пределу текучести условному.

 

 

Рисунок – 6. Диаграмма растяжения мягкой стали

 

После пределатекучести нагрузка начинает увели­чиваться до максимума в точке Pmax. Наибольшая на­грузка Pmax соответствует пределу прочности (времен­ному сопротивлению).      Дальше в образце начинает образовываться шейка (местное уменьшение сечения образца), нагрузка в свя­зи с этим понижается; наконец при нагрузке, соответ­ствующей точке Рк, происходит разрыв образца.        Определение нагрузки предела пропорциональности. Провести прямую OA (рис. 7), совпадающую с прямо­линейным участком кривой растяжения. Через точку O провести ось ординат ОР. Затем на произвольной высо­те, но в упругих пределах кривой растяжения, провести прямую BC, параллельную оси абсцисс. На прямой BC отложить отрезок DE, равный половине отрезка DF. Через точку E и начало координат провести прямую OM. Нагрузка предела пропорциональности рпц определяется точкой касания к кривой растяжения прямой HI, проведённой параллельно прямой OM. Нагрузку рпц предела пропорциональности записывают в таблицу 1.      Предел пропорциональности σпц, Па, определяют по формуле   и полученный результат записывают в таблицу 1.     Рис. 7. Определение по диаграмме растяжения нагрузки предела про­порциональности Рис. 8. Определение по диаграм­ме растяжения нагрузки предела текучести        Определение нагрузки предела текучести. Первый способ. При наличии на диаграмме растяжения ясно выраженной площадки текучести по ней определяют на­грузку физического предела текучести (рис. 8, а). Ре­зультат записывают в таблицу 1.      Предел текучести (физический) σт, Па, определяют по формуле         и полученный результат записывают в таблицу 1.      Второй способ. Если на диаграмме растяжения нет площадки текучести, то можно определить нагрузку Р0,2 условного предела текучести, для чего надо провести прямую OA (рис. 8, б), совпадающую с прямолинейным участком кривой растяжения. Через точку О про­вести ось ординат ОР. От точки О влево надо отложить участок ОВ, величина которого равна величине задан­ного остаточного удлинения, т.е. 0,2% от начальной рас­четной длины образца (l 0), увеличенного до масштаба диаграммы растяжения (например, в 100 раз, если диа­грамма получена на машине ИМ-4Р с масштабом 100: 1). Из точки В надо провести прямую ВС, парал­лельную прямой OA. Точка D пересечения прямой ВС с кривой растяжения определит высоту ординаты, т. е. на­грузку Р0,2, соответствующую условному пределу теку­чести, которую записывают в таблицу 1.     Предел текучести (условный) σ0,2, Па, определяют по формуле:     и полученный результат записывают в таблицу 1. Методика определения удлинения

И поперечного сужения

     Определение удлинения. Для определения длины рас­четной части образца после разрыва l _К обе части образ­ца после разрыва плотно прикладывают одну к другой. Если после испытания образца в месте разрыва образу­ется зазор, то он включается в длину расчетной части образца после разрыва. Длину l _К образца после разры­ва определяют измерением расстояния между кернами (рисками), ограничивающими расчетную длину образца.

     Полученный результат длины l _К  образца после раз­рыва записывают в таблицу 2. От­носительное удлинение δ, %, вычисляют по формуле

 

и полученный результат записывают в таблицу 2.

 

Определение поперечного сужения. При растяжении в месте разрыва образца образуется шейка, т. е. умень­шается поперечное сечение образца. Разность между начальной площадью поперечного сечения F ₀ образца и площадью поперечного сечения F_K в месте разрыва дает величину абсолютного сужения.

Начальная площадь поперечного сечения F ₀ известна.

Чтобы получить площадь поперечного сечения F_K в месте разрыва круглого образца, надо диаметр образца в месте разрыва измерить в двух взаимно перпенди­кулярных направлениях и по среднему арифметиче­скому вычислить площадь F_k.

Рисунок – 9 Схема образца

 

Чтобы получить площадь F_k в месте разрыва плоского образца, надо измерить в месте разрыва наименьшую толщину n и наибольшую ширину m образца (рис. 9).

Произведение n на m дает величину F_k, т. е. F_k = nm.

Чтобы вычислить относительное сужение ψ в процентах, надо величину абсолютного сужения F_o — F_K разделить на начальную площадь F ₀ и умножить на 100:

 

 

 

Полученный результат записывают в таблицу 2.

 

 Механические характеристики

 

Таблица 1

	Предел прочности	Предел пропорциональности	Предел текучести	Условный предел текучести
Максимальная нагрузка
Нагрузка предела пропорциональности
Нагрузка предела текучести
Нагрузка условного предела текучести

 

 

Таблица 2

Размеры образца до и после испытания

	Размеры расчетной части образца до испытания	Размеры расчетной части образца после испытания	Относительное удлинение образца	Относительное сужение образца
Диаметр образца, мм
Площадь поперечного сечения образца, мм2
Расчетная длина образца, мм

 

Содержание отчета:

1. Титульный лист в соответствии СТП 1.2-2005

2. Цель работы

3. Задание

4. Порядок проведения испытания на растяжение сжатие

5. Диаграмма растяжения пластичных материалов

6. Характеристики прочности

7. Характеристики пластичности

8. Ответы на контрольные вопросы

9. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Что называют пределом текучести и пределом прочности?

2. Какой применяют образец? Зарисуйте схему.

3. По какой величине относительного остаточного удлинения определяют условный предел текучести?

4. Для какого участка диаграммы справедлив закон Гука?

5. Какие механические характеристики можно определить по диаграмме растяжения?

 

Практическая работа № 6

Тема: Определение диаметра вала из условия прочности при кручении

Цель работы: научиться определять диаметр вала из условия прочности при кручении

Задание:

К стальному валу приложены скручивающие моменты: М₁,М₂, М_3, М₄. Модуль сдвига для стали G=2∙10⁵МПа.

Требуется:

1. построить эпюру крутящих моментов;

2. при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины, соответственно равной: 30,35,40,45,50,60,70,80,90,100мм;

3. ответить на контрольные вопросы;

4. сделать вывод.

Данные для расчета взять из таблицы 1 в соответствии с номером в журнале.

 

Номер схемы	Размеры, м			Моменты в кНм		[τ],   МПа
	а	в	с	М1; М3	М2; М4
1	2	3	4	5	5	6
1	1.1	1.1	1.1	2.1	1.1	35
2	1.2	1.2	1.2	2.2	1.2	40
3	1.3	1.3	1.3	2.3	1.3	45
4	1.4	1.4	1.4	2.4	1.4	50
5	1.5	1.5	1.5	2.5	1.5	55
6	1.6	1.6	1.6	1.6	0.6	60
7	1.7	1.7	1.7	1.7	0.7	65
8	1.8	1.8	1.8	1.8	0.8	70
9	1.9	1.9	1.9	1.9	0.9	75
10	2.0	2.0	2.0	2.0	1.0	80
11	1.6	1.3	1.6	2.3	1.2	35
12	1.7	1.4	1.7	2.4	1.3	40
13	1.8	1.5	1.8	2.5	1.4	45
14	1.9	1.6	1.9	2.6	1.5	50
15	1.3	1.8	1.1	1.8	0.7	60
16	1.4	1.1	1.5	2.0	1.1	65
17	1.5	1.2	1.6	2.2	1.2	70
1	2	3	4	5	6	7
18	1.6	1.3	1.7	2.4	1.3	75
19	1.7	1.4	1.8	2.3	1.4	80
20	1.8	1.5	1.9	2.5	1.5	85
21	1.9	1.6	2.0	2.6	1.6	90
22	2.0	1.7	1.1	2.7	1.7	60
23	1.6	1.6	1.2	2.8	1.8	65
24	1.7	1.7	1.3	2.9	0.9	70
25	1.8	1.8	1.4	3.0	0.8	85
26	1.9	1.9	1.5	2.1	0.7	90
27	2.0	2.0	1.6	2.2	0.6	40
28	1.3	1.6	1.7	2.3	1.0	45
29	1.1	1.7	1.8	2.4	1.1	50
30	1.2	1.8	1.9	2.5	1.2	55
31	1.3	1.9	1.3	2.6	1.3	60
32	1.4	2.0	1.5	2.7	1.4	65

 

Схемы нагружения валов

 

 

Номер варианта	Схема нагружения вала	Номер варианта	Схема нагружения вала
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

 

Пояснения к работе

При кручении в сечении бруса возникают касательные напряжения, которые в любой точке сечения определяются по формуле

,

где -крутящий момент в сечении;

- расстояние точки от центра;

- полярный момент инерции сечения.

Так как, отношение - полярный момент сопротивления, то для определения касательных напряжений применяем формулу

.

Полярный момент сопротивления для круглого сплошного сечения равен:

.

Полярный момент сопротивления для кольца равен:

,

Условия прочности при кручении

 

1. Проверочный расчет – проверить, выдержит ли вал приложенную нагрузку;

2. Проектировочный расчет - определить размеры вала из условия его проч­ности;

3. Расчет по несущей способности - определить максимально допустимый
крутящий момент.

При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:

1. По схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

2. Выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого ма­териала допускаемое напряжение;

3. Для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

.

 

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость по формуле

,

где - допустимый относительный угол закручивания вала;

– модуль сдвига.

Если данное условие не выполняется, то необходимо выбрать размеры вала из условия жесткости:

Учитывая, что для сплошного круглого сечения , можем запи­сать выражение для определения диаметра вала из условия его жесткости:

 

Окончательно выбирают диаметр d, удовлетворяющий условиям прочности и жесткости.

 

Пример решения задачи

    Подобрать размеры сечения круга и определить максимальный относительный угол закручивания вала, если , опасным сечением является участок, где ,  МПа.

;

;

;

;

Из формулы , выражаем максимальный относительный угол закручивания вала.

 

Содержание отчета:

10. Титульный лист в соответствии СТП 1.2-2005

11. Цель работы

12. Задание

13. Определение крутящих моментов

14. Эпюра крутящих моментов

15. Определение диаметра вала

16. определение углов закручивания

17. Эпюра углов закручивания

18. Ответы на контрольные вопросы

19. Вывод

Контрольные вопросы:

 

1. Что такое чистый сдвиг?

2. Что называется относительным и абсолютным углом закручивания?

3. Что такое модуль сдвига?

4. Что называется скручивающим моментом?

5. Что называется жесткостью сечения бруса при кручении?

Практическая работа № 7

Тема: Расчет на устойчивость сжатых стержней

Цель работы: научиться производить расчет на устойчивость сжатых стержней

Задание: Для сжатой стойки из стали Ст3 определить допускаемое значение сжимающей силы при заданной величине [s_y]=1,8. Схема стойки и данные для расчета приведены в таблице, согласно порядкового номера в журнале

 

Пояснения к работе

Сжатый стержень должен быть рассчитан таким образом, чтобы была обеспечена устойчивость равновесия его прямолинейной формы, т.е. была исключена опасность возникновения продольного изгиба. Сила, сжимающая стержень, должна быть не больше допускаемой (F ). Последняя составляет некоторую часть от критической:

[F]= ,

где [  – допускаемый коэффициент запаса устойчивости. Обычно для сталей [ =1,8…3; для чугуна [ =5; для дерева [ =2,8.

Критическая сила (при потере устойчивости в упругой форме) вычисляется по формуле Эйлера:

F_кр= ;

где Е –модуль продольной упругости материала стержня,

J_min – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня;

μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способов закрепления концов стержня (рис.1.);

l – длина стержня.

 

μ=2   μ=1    μ=0,7 μ=0,5

Рисунок – 1 Способы крепления стержня

Критическое напряжение (на основе формулы Эйлера)

σ_кр= ,

где λ –

i_min =  – минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

Формула Эйлера применима при условии, что

σ_кр σ_пц,

где - σ_пц – предел пропорциональности материала стержня.

Из этого условия следует, что формула Эйлера справедлива при λ λ_пред,

где – λ_пред – предельная гибкость материала стержня, зависящая от его физико-механических свойств;

λ_пред= .

В случае, если λ λ_пред в материале стержня возникают остаточные деформации, расчет напряжений проводят по формуле Ясинского:

σ_кр= а-вλ,

где а и в –эмпирические коэффициенты, имеющие размерность напряжения (табл. 2).

Таблица 2

Материал	а, МПа	в, МПа	λ0	λпред
Сталь Ст2	264	0,70	60	105
Сталь Ст3	310	1,14	60	100
Сталь 20, Ст4	328	1,15	60	96
Сталь 45	449	1,67	52	85
Дюралюмин Д16Т	406	1,83	30	53
Сосна, ель	29,3	0,194	-	70

 

Пример решения задачи

Проверить устойчивость стержня. Стержень длиной 1м, защемлен одним концом, сечение – швеллер №16, материал – Ст3, запас устойчивости трехкратный. Стержень нагружен сжимающей силой 82кН.

F=82кН

Решение

l =1м

Рисунок –2 Схема задачи

Определим основные геометрические параметры сечения стержня по ГОСТу. Швеллер №16: площадь сечения А=18,1см²; минимальный осевой момент инерции сечения J_min= 63,3 см⁴; минимальный радиус инерции сечения i_min =1,87см.

Определим категорию стержня в зависимости от гибкости.

Предельная гибкость для материала Ст3 λ_пред=100.

Определим расчетную гибкость стержня при длине 1м

λ=

Рассчитываемый стержень – стержень большой гибкости λ λ_пред, расчет ведем по формуле Эйлера

F_кр= ;

F_кр= =312000Н-312 кН.

Определим допускаемую нагрузку на стержень

[F]= ;

[F]= =105,5 кН.

Т.к. F 82кН 105,5 кН устойчивость стержня обеспечена.

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии СТП 1.2-2005

2. Цель работы

3. Задание

4. Определение допускаемой сжимающей силы

5. Ответы на контрольные вопросы

6. Вывод

 

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется критической силой?

2. Что такое гибкость стержня и от чего она зависит?

3. Что такое предельная гибкость и зависит ли эта величина от размеров стержня?

4. Каковы наиболее рациональные формы поперечных сечений сжатых стержней?

5. Что называется приведенной длиной стержня?

 

Практическая работа № 8

Тема: Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Цель работы: научиться строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Задание:

1. Определить реакции опор балки

2. Разбить балку на участки по методу сечений и определить для каждого участка поперечную силу и изгибающий момент

3. По вычисленным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построить эпюры

4. Письменно ответить на контрольные вопросы

5. Сделать вывод

Схема балки указана в таблице 1, ее размеры и величины действующих на балку нагрузок указаны в таблице 2 в соответствии с порядковым номером по журналу.

 

Содержание отчета:

1. Титульный лист в соответствии СТП 1.2-2005

2. Цель работы

3. Задание

4. Определение реакций опор балки

5. Определение поперечных сил и изгибающих моментов балки на каждом участке

6. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по вычисленным значениям

7. Ответы на контрольные вопросы

8. Вывод

 

 

                                Таблица 1

Исходные данные

Номер варианта	a, м	F, кН	q, кН/м	M, кНм
1	2	3	4	5
2	0,5	5	2	16
3	1,0	8	4	17
4	1,5	10	5	18
5	2,0	8	10	10
1	2	3	4	5
6	2,5	15	12	12
7	1,2	25	5	13
8	1,4	20	6	16
9	1,6	30	16	21
10	1.5	18	8	22
11	2,2	16	20	24
12	2,4	26	22	28
13	1,8	28	10	23
14	1,5	35	5	25
15	1,0	34	6	26
16	1,6	32	7	11
17	1,8	25	12	15
18	2,6	18	14	12
19	2,4	40	16	13
20	2,1	38	10	14
21	2,0	30	11	16
22	2,5	20	12	17
23	1,8	45	3	26
24	1,6	32	5	30
25	1,5	36	6	32
26	1.4	21	8	34
27	1.7	24	10	22
28	1.9	26	7	31
29	1.5	28	8	32
1	2	3	4	5
30	2.5	22	11	33

 

 

Таблица 2

Схемы балок

 

1	2
3	4
5	6
7	8
9	10
11	12
13	14
15	16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

Пояснения к работе

При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q. Для их определения применяется метод сечений.

Поперечная сила в каком-либо поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент — алгебраической сумме моментов сил, взятых относительно центра тяжести сечения.

Поперечная сила Q и момент пары М действуют на сечение левой и правой отсеченных частей балки в противоположных направлениях. Чтобы при вычислении изгибающего момента М и поперечной силы Q в каком-либо поперечном сечении балки по внешним силам, действующим слева или справа от этого сечения, получить значения, одинаковые не только по значению, но и по знаку, следует установить противоположные правила знаков для сил и их моментов слева и справа от сечения.

Установим правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил.

Когда внешняя сила, расположенная слева от сечения, вращает оставленную часть балки относительно центра тяжести сечения по ходу часовой стрелки, то изгибающий момент считают положительным (рис.1,а). При противоположном направлении изгибающий момент считают отрицательным (рис. 1, б).

 

 

Рисунок - 1 Правила знаков поперечных сил и изгибающих моментов

 

Для нагрузок, расположенных справа от сечения, направления положительного и отрицательного моментов противоположны соответствующим направлениям слева, так как правило знаков для изгибающих моментов связано с характером деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз — растянутые волокна расположены снизу (рис. 1, а). При изгибе выпуклостью вверх, когда растянутые волокна находятся сверху, момент отрицателен (рис. 1, б).

Для поперечной силы знак также связан с характером деформации. Когда внешние силы действуют слева от сечения вверх, а справа — вниз, поперечная сила положительна (рис.1, в). При противоположном действии внешних сил, т. е. слева от сечения вниз, а справа — вверх, поперечная сила отрицательная

(рис. 1, г).

Внутренние силовые факторы в сечениях балок — поперечная сила Q и изгибающий момент М — зависит от внешней нагрузки и изменяются по длине балки. Законы их изменения представляются некоторыми уравнениями, где аргументами являются координаты z поперечных сечений балки, а функциями — Q и М. Эти уравнения удобно представлять в виде эпюр, ординаты координаты которых для любых значений абсциссы z дают соответствующие значения изгибающих моментов и поперечных сил, строятся аналогично эпюрам продольных сил и крутящих моментов. При построении эпюр положительные значения поперечных сил и моментов откладывают вверх от оси, отрицательные — вниз ось (или базу) эпюр проводят параллельно оси балки.

Последовательность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

1. Определить опорные реакции и проверить найденные значения

2. Балку разделить на участки, границы которых совпадают с точками приложения сил, пар сил или с точками начала и конца распределенной нагрузки

3. На каждом участке провести сечение и, рассматривая равновесие отсеченной части балки (правой или левой), составить уравнения, выражающие поперечную силу и изгибающий момент.

4. Подставляя в найденные уравнения значения абсцисс на каждом участке, вычислить в ряде сечений величины поперечных сил и изгибающих моментов.

5. По вычисленным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построить в масштабе соответствующие эпюры

Пример решения задачи

Для заданной двухопорной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 20 кН/м, парой сил с моментом m = 80 кНм и сосредоточенной нагрузкой F = 20 кН. Длины участков a = 2м, b = 8м.

Решение

1. Определи опорные реакции балки:

      

 

 = кН;

.

 = кН;

 

.

Проверка:

Реакции найдены верно.

2.Разбиваем балку на участки и определяем поперечную силу и изгибающий момент на каждо