Площади и координаты центра тяжести плоских фигур

Таблица 1

Сечение фигуры	А, мм2	x С,мм	yC,мм
у C х о	bh	b /2	h /2
y      С b	bh / 2	b / 3	h /3
R y С                               α    x 0	R 2 a   При 2 a =π π R 2 /2	R	0   0

 

1

А

прокалываются в произвольно расположенных точках (лучше на наиболее удаленном расстоянии друг от друга). Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А, а потом в точке В.

3

•

•

В

2

С

При помощи отвеса 4, закрепленного на той же игле, на фигуре прочерчивают карандашом вертикальную линию соответствующую нити отвеса. Центр тяжести С фигуры будет находится в точке пересечения вертикальных линий, нанесенных при подвешивании фигуры в точках А и В.

4

Порядок проведения работы.

    Ознакомиться с устройством установки для определения центра тяжести плоской фигуры.

    Начертить фигуру сложной формы, состоящую из 3-4 простых фигур (треугольник, прямоугольник, часть круга и т.п) и проставить её размеры.

    Провести оси координат так, что бы они охватывали всю фигуру, разбить сложную фигуру на простые части, определить площадь и координаты центра тяжести каждой простой фигуры относительно выбранной системы координат. Данные записать в табл. 2 отчета.

    Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры аналитически.

    Подвесить фигуру сначала в одной точке (отверстии), прочертить карандашом линию, совпадающую с нитью отвеса. То же повторить при подвешивании фигуры в другой точке.

    Совместить пластинку (фигуру) с её изображением на бумаге (выполненные в одинаковом масштабе).

    Центр тяжести фигуры, найденный аналитическим способом, и центр тяжести, найденный опытным путем, должны совпадать.

 

Контрольные вопросы.

1. Можно ли рассматривать силу тяжести тела как равнодействующую систему параллельных сил?

2. Может ли располагаться центр тяжести вне самого тела?

3. В чем сущность опытного определения центра тяжести плоской фигуры?

4. Как определяется центр тяжести сложной фигуры, состоящей из нескольких простых фигур?

5. Как следует рационально производить разбиение фигуры сложной формы на простые фигуры при определении центра тяжести всей фигуры?

 

 

Практическая работа № 5

Тема: Выполнение расчетов на прочность при растяжении, сжатии

Цель работы: научиться производить расчеты на прочность при растяжении, сжатии

Задание:

1. Для заданногобрусапостроить эпюру продольных сил и нормальных напряжений

2. Определить размеры сечения на каждом участке из условия прочности в двух вариантах: 1) круг, 2) прямоугольник с соотношением сторон h=2b, если[σ_р]=140МПа, [σ_с]=100Мпа

3. Определить удлинение (укорочение) бруса

Схема задачи и данные для расчета приведены в таблицах 1 и 2практической работы № 4, согласно порядкового номера в журнале

Таблица 1

Данные для решения задачи

Вариант	Нагрузка кН		Площадь сечения А, см2	Длины участков, м
				a	b	c
	F1	F2
1	2	3	4	5	6	7
1	110	100	15	20	16	0,6
2	120	130	16	21	17	0,7
3	130	140	17	22	18	0,8
4	140	150	18	23	19	0,9
5	150	160	19	24	20	1,0
6	160	170	20	25	21	1,1
7	170	180	21	26	22	1,2
8	180	190	22	27	23	1,3
9	190	200	23	28	24	1,4
10	200	220	24	29	25	1,5
11	110	100	15	20	16	0,6
12	120	130	16	21	17	0,7
13	130	140	17	22	18	0,8
14	140	150	18	23	19	0,9
15	150	160	19	24	20	1,0
16	160	170	20	25	21	1,1
17	170	180	21	26	22	1,2
18	180	190	22	27	23	1,3
19	190	200	23	28	24	1,4
20	200	220	24	29	25	1,5
21	110	100	15	20	16	0,6
1	2	3	4	5	6	7
22	120	130	16	21	17	0,7
23	130	140	17	22	18	0,8
24	140	150	18	23	19	0,9
25	150	160	19	24	20	1,0
26	160	170	20	25	21	1,1
27	170	180	21	26	22	1,2
28	180	190	22	27	23	1,3
29	190	200	23	28	24	1,4
30	200	220	24	29	25	1,5

 

 

Таблица 2

Схема задачи

1			2
3			4
5			6
7			8
9			10
11				12
13				14
15				16
17				18
19				20
21				22
23				24
25				26
27				28
29				30

 

Пояснения к работе

Условие прочности при растяжении и сжатии имеет вид:

 

σ = ,

где σ и N – соответственно нормальное напряжение и продольная сила в опасном сечении (т.е. в сечении, в котором возникают наибольшие напряжения);

А – площадь поперечного сечения бруса;

[σ] – допускаемое напряжение.

 

Исходя из условия прочности можно решать три вида задач:

1. Проверка прочности σ

2. Подбор сечения А

3. Определение допускаемой нагрузки [N] [σ]А.

Если вместо допускаемого напряжения задано предельное, то проверка прочности производится по зависимости

n= ,

где σ_пред – предельное напряжение;

σ – напряжение в опасном сечении;

n – коэффициент запаса прочности для опасного сечения бруса;

[n] – требуемый коэффициент запаса прочности

Абсолютное удлинение (укорочение) бруса при осевом растяжении определяется по формуле:

l =

Учитывая, что σ = , формулу для абсолютного удлинения можно представить в виде

l = .

В таком виде формула удобна в тех случаях, когда предварительно определены напряжения.

 

Пример решения задачи

Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F1, F2, F3 (рис. 1). Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ по длине бруса. Определить перемещение D 1 свободного края бруса (Е=2х10⁵ Н/мм²).

 

 

Рисунок -1 Схема бруса

Решение:

1. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного края. Границами участков будут сечения, в которых приложены силы (рис. 2).

 

 

Рисунок – 2 Эпюры продольных сил и нормальных напряжений

Данный брус имеет 4 участка. В пределах каждого участка воспользуемся методом сечений:

§ Разбиваем брус на рассматриваемом участке сечением, перпендикулярным оси бруса;

§ Мысленно отбрасываем любую часть бруса (лучше отбросить верхнюю часть с жесткой заделкой, чтобы не определять реакцию в защемлении);

§ Заменяем влияние отброшенной части на оставленную внутренней силой Ni;

§ Рассматриваем в равновесии оставленную (нижнюю) часть бруса под действием внешних сил и внутренней силы Ni;

§ Составляем уравнение равновесия (уравнение статики Z:=0) и, решив его, определяем искомые внутренние силы.

 

Iуч.

 

IIуч. N₂=30 кН

IIIуч. N₃= - 12 кН

IVуч. N₄= -27 кН

По найденным значениям строим эпюру продольных сил.

Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений

 

Iуч.

IIуч.

 

IIIуч.

IV уч.

Строим эпюру нормальных напряжений.

 

3. Определяем перемещение свободного края как алгебраическую сумму абсолютных удлинений (укорочений) отдельных участков:

∆l=∆l1+∆l2+∆l’2+∆l3+∆l4=

 

В результате действия продольных сил брус сжался на 0,07мм.

 

1. Определим диаметры сечений бруса из условия прочности

А

Для круглого сечения А= ,

Отсюда d= ,

Определяем по данной формуле диаметр каждого участка:

d₁= =22,6мм, принимаем d₁=23мм.

d₂= =15,9мм, принимаем d₂=16мм.

Содержание отчета:

1.Титульный лист в соответствии СТП 1.2-2005

2.Цель работы

3.Задание

4.Определение продольных сил

5.Эпюра продольных сил

6.Определение размеров сечений бруса

7.Определение удлинения (укорочения) бруса

8.Ответы на контрольные вопросы

9.Вывод

Контрольные вопросы:

 

1. Напишите расчетное уравнение прочности на растяжение и сжатие по допускаемому напряжению. Объясните его смысл

2. Что называется опасным сечением бруса? Напишите формулы, по которым: а) проверяется действительное напряжение в сечении бруса; б) подбирается площадь поперечного сечения бруса; в) определяется допускаемая нагрузка при заданном сечении бруса

3. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?

4. Что называется коэффициентом запаса прочности?

5. Какие эпюры необходимо построить, чтобы выполнить расчет на прочность при растяжении сжатии?

 

 

Лабораторная работа № 2

Тема: Проведение испытания на растяжение образца из низкоуглеродистой стали

Цель работы: ознакомиться с проведения испытания на растяжение образца из низкоуглеродистой стали

Задание:

1. Описать порядок проведения испытания на растяжение образца из низкоуглеродистой стали

2. Начертить диаграмму растяжения и описать основные участки диаграммы

3. Описать характеристики прочности и пластичности, рассчитываемые при испытании

4. Ответить на контрольные вопросы

 

Оборудование: разрыв­ная испытательная машина; образцы для испытания на растяжение; штангенциркуль; микрометр 0—25 мм; бумага для записи диаграммы.

Пояснения к работе:

     Для испытания на растяжение применяют цилиндри­ческие или плоские образцы (рис. 1 и 2). По ГОСТ 1497—73 рекомендуется применять цилиндрические об­разцы диаметром 3 мм и более и плоские толщиной 0,5 мм и более с начальной расчетной длиной l ₀ = 5,65√F₀ или l ₀ =11,З√F₀. Образцы с расчетной длиной l ₀ = 5,65√F₀ называются короткими, а образцы с l ₀ = 11,3√F₀ — длинными. Применение коротких образцов предпочтительнее. При испытании цилиндрических об­разцов в качестве основных применяют образцы диамет­ром d ₀ = 10 мм.

     На рабочей части образцов не должно быть следов механической обработки, забоин и других дефектов; об­разцы должны быть без кривизны и закалочных трещин.

     Перед испытанием измеряют поперечное сечение об­разцов (у цилиндрических — начальный диаметр рабо­чей части d_o, мм, а у плоских — начальную толщину ра­бочей части а₀, мм и начальную ширину Ь _0, мм). Точ­ность измерения цилиндрических образцов диаметром 10 мм и менее и плоских образцов толщиной 2 мм и менее - до 0,01 мм. Измеряют не менее чем в трех местах по длине рабочей части образца (в середине и по краям). Полученные наименьшие размеры записывают в таблицу 2, по ним вычисляют площадь поперечного сечения образца F ₀ и записывают в таблицу 2. Чтобы после испытания определить удлинение, изме­ряют начальную расчетную длину l ₀  образца с точно­стью до 0,1 мм и записыва­ют в таблицу 2. Установленная на­чальная расчетная длина l ₀ ограничивается неглубокими кернами, рисками или иными метками.

 

 

 

Рисунок -1. Стандартные об­разцы для испытания на растяжение: h — длина головки, при помощи которой образец закрепляется в захват машины; Д> — началь­ная расчетная длина образца; R — радиус закругления пере­ходной части; do — начальный диаметр рабочей части цилин­дрического образца; a < j — на­чальная толщина рабочей части плоского образца; 60 — началь­ная ширина рабочей части пло­ского образца; L — общая дли­на образца

Рисунок -2. Образцы для испытания на растяжение на машине ИМ-4Р: а — круглый; б — плоский