Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2019-10-25 | 587 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Требуется найти функцию Y = Y (х), удовлетворяющую уравнению
dY / dx = f (x, Y) (7.2)
и принимающую при x = x 0 заданное значение Y 0:
Y (x 0) = Y 0. (7.3)
При этом будем для определённости считать, что решение нужно получить для значений x > x 0.
Из курса дифференциальных уравнений известно, что решение Y (x) задачи (7.2), (7.3) существует, единственно и является гладкой функцией, если правая часть f (x, Y)уравнения (7.2), являющаяся функцией двух переменных х, Y,удовлетворяет некоторым условиям гладкости [20]. Будем считать, что эти условия выполнены и существует единственное гладкое решение Y (x).
Простейшим численным методом решения задачи Коши для
обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера [7]. Он основан на разложении искомой функции Y (х)в ряд Тейлора в окрестностях узлов х = xi (i = 0, 1, …), в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в виде
Y (xi + ∆ xi)= Y (xi) + Y ' (xi)∙∆ xi. (7.4)
Заменяем значения функции Y в узлах xi значениями сеточной функции yi. Кроме того, используя уравнение (7.2), полагаем
Y ' (xi) = f (xi, Y (xi)) = f (xi, yi).
Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т. е. ∆ xi = xi + 1- xi = h = = const (i = 0, 1,...). Учитывая введенные обозначения,из равенства (7.4) получаем
yi+ 1 = yi + h ∙ f (xi, yi), i = 0, 1, … (7.5)
Полагая i = 0, с помощью соотношения (7.5) находим значение сеточной функции y 1при х = x 1:
y 1 = y 0 + h ∙ f (x 0, y 0).
Требуемое здесь значение у 0задано начальным условием (7.3), т. е. у 0 = Y (x 0) = = Y 0. Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:
|
y 2 = y 1 + h ∙ f (x 1, y 1),
………………………
yn = yn - 1 + h ∙ f (x n - 1, y n - 1).
Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема этого метода представлена соотношениями (7.5). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной функции yi + 1 в любом узле xi + 1вычисляется по ее значению yi в предыдущем узле xi. В связи с этим метод Эйлера относится к одношаговым методам.
Блок-схема алгоритма решения задачи Коши (7.2), (7.3) методом Эйлера изображена на рис. 7.1. Задаются начальные значения х, у 0,а также величина
шага h и количество расчетных точек n. Решение получается в узлах х + h, х +
+2 h, …, х + nh. Вывод результатов предусмотрен на каждом шаге.
На рис. 7.2. дана геометрическая интерпретация метода Эйлера. Изображены первые два шага, т. е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках х 1, х 2. Интегральные кривые 0, 1, 2 описывают точные решения уравнения (7.2). При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши (7.2), (7.3), так как она проходит через начальную точку А (х 0, y 0). Точки В, С получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ – отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной y 0 = f (x 0, y 0).Касательная ВС уже проводится к другой
Рис. 7.1. Блок-схема метода Эйлера
Рис. 7.2. Иллюстрация метода Эйлера
интегральной кривой 1.Таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге решение переходит на другую интегральную кривую.
Метод Эйлера имеет первый порядок точности [8, 18], т.е. погрешность метода достаточно высока.
Метод Рунге-Кутта. Пример решения дифференциального уравнения
Наиболее распространенным явным одношаговым методом решения задачи Коши является метод Рунге – Кутта [7]. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Приведем схему Рунге – Кутта четвертого порядка. Алгоритм этого метода имеет следующий вид:
|
(7.6)
Из формул (7.6) следует, что метод Рунге – Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения f (x, у).
Метод Эйлера (7.5) может рассматриваться как метод Рунге – Кутта первого порядка точности. Метод Рунге – Кутта (7.6) требует большего объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить расчеты с большим шагом. Другими словами, для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге – Кутта.
Проведем сравнительную оценку рассмотренных методов на простом примере, позволяющем получить также и точное решение.
Пример. Решить задачу Коши
, Y (0) = 1, 0 x 1, h = 0,1.
Сформулированная задача может быть решена известными из курса высшей математики методами. Опустив выкладки, запишем окончательное выражение для точного решения с учетом заданного начального условия. Оно имеет вид
.
Проведем теперь решение данной задачи численно с помощью рассмотренных выше методов. Расчет для двух точек (i = 1 и i = 2) по формуле Эйлера (7.5):
;
.
Расчет для двух точек (i = 1 и i = 2) по формулам Рунге – Кутта (7.6):
i = 1; ;
;
;
;
;
i = 2; ;
;
;
;
.
Результаты всех вычислений приведены в табл. 7.1. Как видно из этой таблицы, более точным является решение, полученное методом Рунге – Кутта. Анализ решения с использованием метода Эйлера позволяет проследить рост погрешности с возрастанием х i. При х i = 1 погрешность составляет 35%.
Таблица 7.1
Результаты численного решения задачи Коши
i | х i | у i | ||
Метод Эйлера | Метод Рунге-Кутта | Точное решение | ||
0 | 0,0 | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
1 | 0,1 | 1,1000 | 1,1109 | 1,1109 |
2 | 0,2 | 1,2204 | 1,2479 | 1,2479 |
3 | 0,3 | 1,3664 | 1,4195 | 1,4195 |
4 | 0,4 | 1,5447 | 1,6378 | 1,6378 |
5 | 0,5 | 1,7645 | 1,9209 | 1,9210 |
6 | 0,6 | 2,0377 | 2,2969 | 2,2970 |
7 | 0,7 | 2,3804 | 2,8106 | 2,8107 |
8 | 0,8 | 2,8138 | 3,5377 | 3,5380 |
9 | 0,9 | 3,3655 | 4,6144 | 4,6152 |
10 | 1,0 | 4,0695 | 6,3056 | 6,3080 |
С уменьшением шага h локальная погрешность метода Эйлера снизится. Если в рассматриваемом примере принять h = 0,05, то при х i = 1 погрешность составляет уже 24% (у i = 4,7897). Однако при уменьшении h возрастет число узлов, что приводит к увеличению объема вычислений. Поэтому метод Эйлера
|
применяется сравнительно редко. Наиболее употребительным одношаговым методом является метод Рунге – Кутта.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!