С учетом всего вышесказанного, в части систематических погрешностей, можно утверждать, что систематические погрешности могут быть устранены правильной организацией работ при производстве измерений.

Случайные погрешности. Эти погрешности возникают независимо от наблюдателя. Например, к случайным погрешностям относится погрешность отсчитывания, погрешность визирования: приводя на середину между нитями визирный сигнал, мы делаем неизбежную погрешность, зависящую от несовершенства оценки нашим глазом середины промежутка между нитями. Такого рода погрешности под именем «случайных» будут рассматриваться ниже.

 

 

Равноточные измерения. Свойства случайных погрешностей

Равноточными называются такие измерения, которые совершаются при одинаковых условиях, одинаково точных инструментах, одинаковыми методами, с одинаковой тщательностью.

Случайные погрешности равноточных измерений подчиняются определенным закономерностям, которые проявляются при большом числе измерений одной и той же величины. В основном, при производстве геодезических измерений случайные погрешности подчиняются нормальному закону распределения, хотя с применением электронных инструментов (тахеометров, дальномеров) возникает класс погрешностей, которые не подчиняются нормальному закону распределения.

Далее мы будем полагать, что случайные погрешности наших измерений будут подчиняться нормальному закону. Исходя из этого, можно отметить следующие свойства случайных погрешностей:

1. Случайные погрешности равновозможны по знаку (положительные случайные погрешности встречаются также часто, как и отрицательные);

2. Случайные погрешности малые по абсолютной величине встречаются чаще, чем большие;

3. Случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать определенного предела при заданной вероятности (если случайная погрешность превышает данный предел, то эта погрешность относится к грубой, и результаты измерений исключаются из ряда);

4. Средняя арифметическая из случайных погрешностей измерений одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном числе измерений, т. е.

где Δ _i – случайная погрешность; п – число измерений.

Мера случайных погрешностей

Предположим, что а – точное значение измеряемой величины. При одних и тех же условиях проведем п точных измерений (равноточные измерения), х _i – результат измерений (при i = 1, 2, 3, 4, … п).

Исходя из определения понятия случайных погрешностей, следует что

Δ₁ = а - х ₁

Δ₂ = а - х ₂

Δ₃ = а - х ₃

……………

Δ _i = а - х _i

Исходя из свойств случайных погрешностей, немецкий геодезист и математик Гаусс предложил в качестве меры случайных погрешностей брать не среднее арифметическое, а квадрат среднего арифметического. Тогда

Пример. Отрезок линии теодолитного хода разбит на две части АВ и ВС. Точное значение длин отрезков известно АВ = 143,435 м, ВС = 107,541 м. Одной рулеткой измеряем по 10 раз длины этих отрезков.

        отрезок АВ                                        отрезок ВС

№ п/п	Результат измерений, м	Δ i мм	Δ i 2	№ п/п	Результат измерений, м	Δ i мм	Δ i 2
1	143,438	-3	9	1	107,540	+1	1
2	433	+2	4	2	539	+2	4
3	439	-4	16	3	539	+2	4
4	437	-2	4	4	543	-2	4
5	434	+1	1	5	541	0	0
6	435	0	0	6	537	+4	16
7	431	+4	16	7	550	-9	81
8	432	+3	9	8	541	0	0
9	433	+2	4	9	538	+3	9
10	438	-3	9	10	542	-1	1

                                                  [0]         [72]                                             [0]              [120]

Вычислив случайные погрешности по каждой длине, получим два ряда:

1) -3, +2, -4, -2, +1, +0, +4, +3, +2, -3 [0],

2) +1, +2, +2, -2, +0, +4, -9, +0, +3, -1 [0].

Вычислив среднее арифметическое значение абсолютных величин по каждому ряду, получим

1 ряд ;              2 ряд .

т_АВ = = ± 2,7 мм;     т_ВС = = ± 3,5 мм.

Предельная погрешность – это наибольшее по абсолютной величине значение случайной погрешности, которого оно может достигнуть при данных условиях измерений. Установлено, что случайная погрешность может достигать удвоенной СКП в пяти случаях из 100 и утроенной – в трех случаях из 1000. Поэтому за предельную Δ_пр принимают утроенную СКП:   

Δ_пр = ± 3 т.

Если в результатах равноточных измерений имеется случайная погрешность, превышающая утроенную СКП, то это измерение следует исключить.

Сама СКП имеет свою погрешность определения. И для оценки погрешности используется формула

Пример. Измерен горизонтальный угол теодолитом 2Т-30 способом приемов 5 раз. Результаты приведены в таблице:

№ измерения	Результаты измерений	Δi	Δi2
1	136°15'08''	+19	361
2	15'47"	-20	400
3	15'11"	+16	256
4	15'32"	-5	25
5	15'37"	-10	100

                                                                                [1142]

Этот же угол был измерен высокоточным теодолитом 3Т-2КП с результатом 136°15'27". Приняв это значение за точное, определить:

- среднеквадратическую погрешность,

- надежность СКП,

- предельную погрешность.

Решение: СКП определяется по формуле

т _i =  = = ± 15", 1;

надежность СКП определяем по формуле т_т = ±  = ±  = ± 4",8;

предельная погрешность Δ_пр = ± 3 т = ± 3 · 15,1 = ± 45",3.