Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов.

В методе контурных токов за основные неизвестные величины принимают контурные токи, которые замыкаются только по независимым контурам (главным контурам). Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы.

Алгоритмом метода контурных токов:

1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме.

2. Определяют независимые контуры и их нумеруют. При наличии в схеме источников тока независимые контуры, для которых составляются уравнения метода контурных токов, можно определить, если мысленно удалить источники тока.

3. Выбирают направление контурных токов (целесообразно в одну сторону) и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока (через источник тока проходит только один контурный ток!).

4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов.

5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам.

Пример решения задачДано:                                                   

E1 = 24 B

E2 = 18 B

Ri1 = 0,5 Ом

Ri2 = 0,2 Ом

R1 = 1,5 Ом                                               

R2 = 1,8 Ом

R3 = 2 Ом

Найти: I1-3-?

30=6I1к 6=4∙5-2I2к

I1к=5A I2к=7A

Ответ:

I3=I2к=7A, I1= I1к=5A, I2= I2к- I1к=7-5=2A

 

Метод наложения

Метод наложения относительно прост, и в основном применяется для не сложных электрических цепей.

Его суть заключается в том, что токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма их составляющих от каждого источника. То есть каждый источник тока вносит свою часть в каждый ток в цепи, а чтобы найти эти токи, нужно найти и сложить все составляющие. Таким образом, мы сводим решение одной сложной цепи к нескольким простым (с одним источником).Порядок расчета

1 – Составление частных схем, с одним источником ЭДС, остальные источники исключаются, от них остаются только их внутренние сопротивления.

2 – Определение частичных токов в частных схемах, обычно это несложно, так как цепь получается простой.

3 – Алгебраическое суммирование всех частичных токов, для нахождения токов в исходной цепи.

Пример решения методом наложения

1. Для начала произвольно выберем направление токов, если в итоге какой либо ток получится со знаком минус, значит нужно изменить направление данного тока на противоположное.

2. Составим частную схему с первым источником ЭДС и рассчитаем частные токи в ней, убрав второй источник. Для удобства частичные токи будем обозначать штрихами.

Свернем схему к одному контуру, с сопротивлением источника и эквивалентным сопротивлением цепи для нахождения тока источника I1. Для тех, у кого возникают затруднения с нахождением эквивалентного сопротивления рекомендуем прочесть статью виды соединения проводников.

Найдем ток по закону Ома для полной цепи

Найдем напряжение на R2345

 

Тогда ток I3 равен

А ток I4

Определим напряжение на R25

Найдем токи I2 и I5

3. Составим частную схему со вторым источником ЭДС

Аналогичным образом вычислим все частичные токи от второй ЭДС

4. Найдем токи в исходной цепи, для этого просуммируем частичные токи, учитывая их направление. Если направление частичного тока совпадает с направлением исходного тока, то берем со знаком плюс, в противном случае со знаком минус.

 

Метод двух узлов.

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Данным методом могут быть рассчитаны цепи содержащие два неустранимых узла. Для расчёта методом двух узлов находят напряжение между зтими узлами U_ab по формуле:

 

1.

Где E_k - напряжение источника ЭДС k-ой ветви, G_k - проводимость k-ой ветви, J_k - ток источника тока k-ой ветви.
Затем находят токи в ветвях без источников тока по формуле:

 

2.

Ток в ветви с источником тока равен току этого источника.

Метод узловых потенциалов.

Метод узловых потенциалов, так же как и метод контурных токов позволяет снизить порядок системы для расчета электротехнических схем. Данный метод состоит в нахождении потенциалов всех узлов схемы и затем по известным потенциалам токов во всех ветвях. Метод узловых потенциалов базируется на первом законе Кирхгофа.
Прежде чем приступить к изучению метода узловых потенциалов, рассмотрим схему рис.53:

 

Рис. 53.

Пусть в ней известны потенциалы и , а так же все параметры элементов. Запишем значение потенциала через потенциал и через падения напряжений на элементах схемы. Запись произведем с учетом того, что ток всегда протекает от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.
.
Выразим из этого уравнения ток:
.
Положим данную конструкцию в основу дальнейшего вывода. Рассмотрим схему рис. 54:

 

Рис. 54.

Выразим все токи через потенциалы узлов , , и .
; ; ; ; ; .
Далее запишем первый закон Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3.
Для узла 1:
.
Для узла 2:
.
Для узла 3:
.
Произведем подстановку в эти уравнения токов, выраженных через потенциалы:
;
;
.
Выполним почленное деление на и перенесем члены уравнения, содержащие ЭДС в правую часть. Запишем первое уравнение относительно , второе – относительно , третье – относительно . Потенциал приравняем к нулю . Получим:
;
;
.
Воспользовавшись этой системой уравнений можно рассчитать потенциалы узлов, а затем токи в ветвях как:
; ; ; ; ; .
Обозначим сумму проводимостей ветвей принадлежащих одному узлу узловыми проводимостями:
, , .
А проводимости, ветвей между узлами взаимными проводимостями:
, , .
С учетом введенных обозначений запишем систему уравнений для расчета узловых потенциалов в общем виде:
;
;
.

Приведем алгоритм расчета электрических схем с помощью метода узловых потенциалов.
1. Приравняем потенциал одного из узлов 0;
2. Составим уравнения по методу узловых потенциалов (знаки (-) в уравнениях присваиваются автоматически). В правой части уравнений знак определяется следующим образом: если ЭДС направлена к узлу, то она имеет знак (+), если от узла – (-);
3. Рассчитываем уравнения, определяем потенциалы.
4. Определяем токи по приведённым ранее формулам.

 

9.Принцип взаимности.

Принцип взаимности определяет связи между токами и напряжениями в двух ветвях пассивной цепи при действии в них источников различного характера.

1. Рассмотрим две ветви k и m пассивной электрической цепи, обозначенной на рис. 6.3, а как П.

Рис. 6.3

Пусть единственный источник ЭДС e, действующий в ветви k, вызывает в ветви m ток i_m. Тогда при действии такого же источника e в ветви m (рис. 6.3, б) той же цепи ток i_k в ветви k, обусловленный этим источником, будет равен току i_m. Сформулированный принцип не является очевидным. Для его обоснования запишем для цепи, изображенной на рис. 6.3, а, с помощью правила Крамера (см. п. 4.5) решение алгебраической системы контурных уравнений, составленных таким образом, чтобы ток i_k в k- й ветви совпал с k- м контурным током, а ток i_m — с m- м контурным током. В этом случае

i_m = e_k D _km/ D = e_k/r_km,

где D — определитель матрицы контурных сопротивлений R _к, D _km — алгебраическое дополнение элемента R_km этой матрицы, r_km = D/D _km — сопротивление передачи от k- ого контура к m- му. Его смысл следует из приведенного равенства: оно определяет ток в m -й ветви, обусловленный источником ЭДС, действующим в k- й ветви.

Для схемы, изображенной на рис. 6.3, б, при том же выборе контуров получим: i_k = e_m D _mk/ D = e_m/r_mk. Здесь все величины аналогичны по смыслу записанным выше.

Сопоставление выражений для i_k и i_m показывает, что при равенстве e_k = e_m имеем i_k = i_m, поскольку матрица контурных сопротивлений R _к

пассивной цепи симметрична (R_km = R_mk) и, следовательно, равны друг другу алгебраические дополнения D _km = D _mk и сопротивления передачи r_km = r_mk. Таким образом, принцип взаимности устанавливает равенство сопротивлений передачи от k- ого контура к m- му и обратно в пассивной цепи.

2. Дуальная формулировка выражает связи между напряжениями на участках цепи m и k, обусловленными действием в цепи источников тока (рис. 6.4, а).

Рис. 6.4

При переносе источника J в ветвь m (рис. 6.4, б) он вызовет на участке k такое же напряжение u_k, какое было в исходной цепи (рис. 6.4, а) в ветви m. Это свойство пассивной цепи вытекает из симметрии матрицы узловых проводимостей пассивной цепи. Оно может быть доказано с использованием узловых уравнений.

Понятие проводимости передачи g_km, определяющее напряжение на ветви m, создаваемое током J_k: u_m = J_k / g_km, приводит к формулировке принципа взаимности в виде равенства проводимостей передачи между узлами k и m: g_km = g_mk.

3. Еще одно проявление принципа взаимности можно обнаружить при сравнении тока i_m, вызванного источником тока J_k, и напряжения u_k, обусловленного действием ЭДС e_m (рис. 6.5 а, б).

Рис. 6.5

Отношение i_m / J_k — коэффициент передачи тока от ветви k к m — равно коэффициенту передачи напряжения u_k / e_m в противоположном направлении — от ветви m к ветви k.

Полученная связь также обусловлена симметрией контурных уравнений пассивных цепей. Проиллюстрируем ее на простейшем примере Г-образного четырехполюсника (рис. 6.6 а, б).

Рис. 6.6

Для обеих цепей имеем

,

откуда следует, что i ₂/ J ₁ = u ₁/ e ₂ = R ₁/(R ₁ + R ₂).

Таким образом, принцип взаимности выражает определенную симметрию между величинами на входе цепи, к которым прикладывается воздействие, и реакцией на это воздействие на выходе цепи. Этот принцип действует только в пассивных цепях (не содержащих управляемых источников), поскольку такие источники вносят несимметрию в матрицу узловых проводимостей или контурных сопротивлений.

Применение принципа взаимности в сочетании с принципом наложения позволяет упростить расчет токов или напряжений в ветвях, содержащих источники ЭДС или тока. Например, если в цепи, включающей два источника ЭДС e ₁ и e ₂, требуется определить токи i ₁ и i ₂ в ветвях, в которых находятся эти источники, достаточно определить токи i ₁₁ и i ₂₁ в первой и второй ветвях, вызванные первым источником e ₁. При рассмотрении действия источника e ₂ можно ограничиться расчетом тока лишь во второй ветви i ₂₂. Поскольку из принципа взаимности следует, что i ₁₂/ e ₂ = i ₂₁/ e ₁, то ток i ₁₂ можно определить как i ₁₂ = i ₂₁ e ₂/ e ₁.

 

10.Переходные процессы в линейных электрических цепях. Законы коммутации.

Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) – переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.

Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации гласит, что ток iL в цепи с идеальной катушкой индуктивности L в момент коммутации не может измениться скачкообразно, т.е.

Предположим обратное, что ток iL изменяется скачком, что означает . Из этого следует, что напряжение на катушке и мощность, потребляемая магнитным полем катушки должны быть бесконечно большими

Полученные выводы противоречат физическим законам, так как нельзя получить напряжение u = ¥ и в природе не существует источников энергии, способных развивать бесконечную мощность. Следовательно, наше первоначальное предположение является некорректным, и мы

 вправе утверждать, что       , или ток iL в цепи с катушкой L в момент комму- тации не может измениться скачкообразно. Второй закон коммутации гласит, что напряжение uC на выводах иде- ального конденсатора C в момент коммутации не может измениться скачкообразно, т.е. .

Предположим обратное, что напряжение uC изменяется скачком, что означает . Из этого следует, что ток в конденсаторе и мощность, потребляемая электрическим полем конденсатора должны быть бесконеч- но

Большими. Полученные выводы противоречат физическим законам, так как нельзя получить ток i = ¥ и не существует источников энергии бесконечной мощности. Следовательно, наше первоначальное предположение является некорректным, и мы вправе утверждать, что  , или напряжение uC на выводах конденсатора С в момент коммутации не может измениться скачкообразно. Законы коммутации используются на практике для определения начальных условий при расчете переходных процессов.

 

11.Основы теории четырехполюсников и многополюсников. Классификация.