Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде

,

где - направляющие косинусы нормали плоскости, - расстояние от начала координат до плоскости.

Нормалью к плоскости называется вектор, направление которого совпадает с направлением прямой, проведённой через начало координат перпендикулярно данной плоскости. (Есть полная аналогия с нормалью к прямой на плоскости, с той лишь разницей, что нормальное уравнение прямой существует в двух измерениях, а нормальное уравнение плоскости - в трёх).

Пусть M - какая угодно точка пространства. Для нахождения отклонения точки M от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить на место x, y и z подставить координаты этой точки.

Это правило позволяет найти и расстояние от точки M до плоскости: расстояние равно модулю отклонения, т.е.

,

так как расстояние не может быть отрицательным числом.

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду почленным умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.

Пример 6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.

Решение. Вычислим нормирующий множитель:

.

Знак нормирующего множителя положительный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим требуемое в условии примера нормальное уравнение плоскости:

.

Пример 7. Вычислить величину отклонения и расстояния от точки до прямой, если точка задана координатами (-2; -4; 3), а плоскость задана общим уравнением .

Решение. Сначала приведём уравнение плоскости к нормальному виду. Вычислим нормирующий множитель:

.

Знак нормирующего множителя отрицательный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим нормальное уравнение плоскости:

.

Вычислим отклонение точки от плоскости:

Найдём теперь расстояние от точки до плоскости как модуль отклонения:

 

Нормальное уравнение плоскости – описание и пример.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.

Рассмотрим плоскость, которая удалена на расстояние p () единиц от начала координат в положительном направлении нормального вектора плоскости . Будем считать, что длина вектора равна единице. Тогда его координаты равны направляющим косинусам, то есть, , причем . Обозначим расстояние от точки до плоскости как , то есть, точка N лежит на плоскости и длина отрезка ON равна p. Для наглядности отметим все данные на чертеже.

Получим уравнение этой плоскости.

Возьмем точку трехмерного пространства . Тогда ее радиус вектор имеет координаты , то есть, (при необходимости смотрите раздел координаты радиус-вектора точки). Очевидно, что множество точек определяют описанную ранее плоскость тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора на направление вектора равна p, то есть, (смотрите рисунок ниже).

Тогда определение скалярного произведения векторов и дает нам следующее равенство . Это же скалярное произведение в координатной форме представляется как . Сопоставление двух последних равенств дает нам искомое уравнение плоскости . Перенесем p в левую часть, и мы получим уравнение , которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Нормальное уравнение плоскости иногда называют нормированным уравнением плоскости.

Итак, нормальное уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости .

Следует заметить, что косинусы зачастую явно не фигурирует в нормальном уравнении плоскости, так как и - это некоторые действительные числа, сумма квадратов которых равна единице.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением в нормальном виде . Здесь , нормальный вектор плоскости имеет координаты , его длина равна единице, так как . Более того, заданная плоскость находится на расстоянии 7 единиц от начала координат в направлении вектора , так как p = 7.

Очевидно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости вида , в котором числа A, B и C таковы, что длина нормального вектора плоскости равна единице, а число D неотрицательно.

Осталось разобраться с вопросом: «Как узнать, действительно ли перед нами нормальное уравнение плоскости»? Ответить на него достаточно просто: если выполняются оба условия и , то мы имеем уравнение плоскости в нормальном виде, если же хотя бы одно из условий не выполняется, то уравнение плоскости не является нормальным. Рассмотрим пример.

Пример.

Есть ли среди указанных уравнений уравнения плоскости в нормальном виде?

• ;
• ;
• .

Решение.

Начнем с первого уравнения. Проверим, равна ли длина нормального вектора плоскости единице. Вычислим длину: . Осталось убедиться, что число p в этом уравнении положительно. Это действительно так, так как . Таким образом, первое уравнение плоскости является уравнением плоскости в нормальном виде.

Второе уравнение плоскости не является нормальным уравнением плоскости, так как не выполняется условие (в этом уравнении ).

В третьем уравнении длина нормального вектора не равна единице: . Поэтому оно не является уравнением плоскости в нормальном виде.

Ответ:

только первое уравнение является нормальным уравнением плоскости.

К началу страницы