Основные этапы развития теории оптимизации — КиберПедия 

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Основные этапы развития теории оптимизации



Как это не выглядит странно, но первые задачи по оптимизации не являлись самыми простыми задачами по нахождению минимумов и максимумов обычных функций нескольких переменных :

.

Они относятся к классу конечномерных задач, так как аргумент, состоящий из n вещественных чисел, является вектором конечномерного пространства. Кроме того, в её простейшем варианте, отсутствуют дополнительные условия, которые можно задавать равенствами или неравенствами для других функций, которые называют ограничениями.

А именно, ещё в древней Греции была решена более сложная, связанная с именами Евклида, Архимеда и Аристотеля изопериметрическая задача Дидоны на нахождение фигуры на плоскости с максимальной площадью при заданном периметре. Она относилась к бесконечномерным задачам, так как аргументом являлась функция, т.е. объект, который зависит от бесконечного числа переменных, а оптимизировался определённый интеграл, являющийся функционалом на пространстве функций. Эта задача относиться к вариационным задачам с ограничениями, а не к поиску экстремума функций без ограничений.

Следующим важным моментом развития в районе 1650 года явилась теорема Ферма о том, что в экстремальных точках называемый градиентом вектор частных производных функции равен 0. После этого и ещё до решения задачи нахождения экстремума функции при наличии ограничений Иоганн Бернулли в 1699 году поставил, а затем и получил решение этапной задачи о брахистохроне: кривой, по которой материальная точка в поле силы тяжести спуститься из одной точки в другую, более низкую, точку, за минимальное время. Решение было получено очень быстро, за 1-2-года, и не только Бернулли, но и ещё Эйлером, Лейбницем и анонимным автором, оказавшимся Ньютоном.

Решая эту и подобные вариационные задачи, Эйлер получил обыкновенные дифференциальные уравнения, названные позднее уравнениями Эйлера, которым должно удовлетворять решение. Напомним, что более простые конечномерные задачи поиска экстремума функций имели аргументом конечномерный вектор в . Вариационные задачи связаны с оптимизацией интегралов, имеют аргументами функции, которые, вообще говоря, являются бесконечномерными объектами, определёнными на континууме. Поэтому вариационные задачи относят к бесконечномерной оптимизации, которые в целом, значительно сложнее конечномерной.

Однако вначале учёные занимались вариационными задачами. Правда, метод исследования был основан на рассмотрении конечномерных объектов. А именно, Эйлер заменял интегралы на интегральные суммы, которые уже зависели от конечного числа точек-аргументов, и соответствующая экстремальная задача была уже конечномерной.



Так, для изопериметрической задачи произвольная кривая на плоскости приближалась ломаными, образующими треугольники и многоугольники. И сначала решение искалось для этих многоугольников, которые в пределе давали уравнения Эйлера и соответствующее решение.

Эталонная вариационная задача состоит в минимизации интеграла

 

среди всех кривых C: , соединяющих две заданные точки.

Для параметрических кривых интеграл соответственно модифицируется

,

при этом должно выполняться условие однородности, унифицирующее параметрическое представление

, .






Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...





© cyberpedia.su 2017 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав

0.004 с.