История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2019-08-04 | 147 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, например, решение уравнения
(21)
сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.
1) Если , то уравнение (21) приводится к виду
. (22)
Решения этого уравнения: , . Условию удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).
2) Если , уравнение (21) приводится к виду
.
Корнями этого уравнения будут числа и . Первый корень не удовлетворяет условию и поэтому не является решением данного уравнения (21).
Таким образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и .
Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение
. (23)
Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка (рис. 1):
, , .
0 3 x
рис. 1.
|
1) При уравнение (23) приводится к виду
.
В промежутке последнее уравнение решений не имеет.
Аналогично, при уравнение (23) приводится к виду
и в промежутке решений не имеет.
2) При уравнение (23) приводится к виду
,
т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение является решением уравнения (23).
Трансцендентные уравнения
Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением [4]).
Простешими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.
Показательные уравнения
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.
Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида
, (24)
где и - некоторые положительные числа . Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению
.
В простейшем случае, когда , показательное уравнение (24) имеет решение
Множество решений показательного уравнения вида
, (25)
где - некоторый многочлен, находится следующим образом.
Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного . После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простейших показательных уравнений вида (24).
П р и м е р 1. Решить уравнение
.
Записывая уравнение в виде
и вводя новую переменную , получаем кубическое уравнение относительно переменной :
.
Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный рациональный корень и два иррациональных корня: и .
|
Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению простейших показательных уравнений:
, , .
Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:
и .
Н е к о т о р ы е п р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я:
1) Уравнение вида
заменой сводится к квадратному уравнению
.
2) Уравнение вида
заменой сводится к квадратному уравнению
.
3) Уравнение вида
заменой сводится к квадратному уравнению
.
Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
, (26)
где - некоторое положительно число, отличное от единицы, - любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению
.
В простейшем случае, когда , логарифмическое уравнение (26) имеет решение
.
Множество решений логарифмического уравнения вида , где - некоторый многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.
Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно . После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (25).
П р и м е р 1. Решить уравнение
. (27)
Относительно неизвестного данное уравнение – квадратное:
.
Корни этого уравнения: , .
Решая логарифмические уравнения
, ,
получаем решения логарифмического уравнения (27): , .
В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.
|
П р и м е р 2. Решить уравнение
. (28)
Для того чтобы свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой
,
в силу которой . Подставив в уравнение (28) вместо равную ему величину , получаем уравнение
.
Заменой это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного :
.
Корни этого квадратного уравнения: , . Решаем уравнения и :
,
,
П р и м е р 3. Решить уравнение
.
Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:
,
сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению
.
Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мое сочинение может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного сочинения я не ставил себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.
Список использованной литературы
Глав. ред. М. Д. Аксенова. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.
|
Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.
Г. Корн и Т. Корн. Справаочник по математике для начуных работников и инженеров. – М.: Наука, 1970.- 720 с.
[1] ) Под допустимыми понимаются те численные значения букв, при которых выполнимы все операции, совершаемые над буквами, входящими в равенство. Например, допустимыми значениями букв, входящих в равенство
будут следующие; для ; для , для
[2] ) Если a и b имеют разные знаки, то .
[3] ) Случай , аналогичен разобранному.
[4] ) Под алгебраическими преобразованиями уравнения
Понимают следующие преобразования:
1) прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения;
2) умножение обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение;
3) возведение обеих частей уравнения в рациональную степень.
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!