На тему: Уравнения и способы их решения

Гимназия № 12

 

 

Сочинение

На тему: Уравнения и способы их решения

 

           

                                                                       Выполнил: ученик 10 "А" класса

                                                                                               Крутько Евгений

 

Проверила: учитель математики                                                                                                                                   Исхакова Гульсум Акрамовна

 

Тюмень 2001

Содержание

 

План................................................................................................................................... 1

Введение........................................................................................................................... 2

Основная часть................................................................................................................. 3

Заключение..................................................................................................................... 25

Приложение................................................................................................................... 26

Список использованной литературы.......................................................................... 29

 

План.

Введение.

Историческая справка.

Уравнения. Алгебраически уравнения.

                   а) Основные определения.

                   б) Линейное уравненение и способ его решения.

                   в) Квадратные уравнения и способы его решения.

                   г) Двучленные уравнения способ их решения.

                   д) Кубические уравнения и способы его решения.

                   е) Биквадратное уравнение и способ его решения.

                   ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.

                   ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.

                   з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его

                       решения.

                   и) Иррациональные уравнения и способы его решения.

                   к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

                       абсолютной величины и способ его решения.

Трансцендентные уравнения.

                   а) Показательные уравнения и способ их решения.

                   б) Логарифмические уравнения и способ их решения.

 

 

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.

 

Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

       Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

 

Линейное уравнение

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

                                                            ,                                                            (1)

где a и b – некоторые действительные числа.

       Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число , получаем уравнение

                                                              ,                                                              (2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):

.

Квадратное уравнение

Алгебраическое уравнение второй степени.

                                                       ,                                                       (3)

где , ,  – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

,

Выражение  называется дискриминантом квадратного уравнения.

При этом:

если , то уравнение имеет два различных действительных корня;

если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

,                              ,

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде

.

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

                                               .                                               (4)

       Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде

 (  - целое число).

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

                                                 .                                                 (5)

       Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

       Корни приведенного квадратного уравнения

связаны с его коэффициентами Формулами Виета

,

.

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

если , , то оба корня отрицательны;

если , , то оба корня положительны;

если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.

 

Перепишем еще раз квадратное уравнение

                                                                                                                (6)

и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если

                                                           + + ,                                                           (7)

 то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

,

откуда

,      .

которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

,

Заметим, что , поэтому

,

откуда

.

,

но , из формулы (7) поэтому окончательно

.

Если положить, что + , то

,

Заметим, что , поэтому

,

откуда

,

но ,  поэтому окончательно

.

и

.

Двучленные уравнения

Уравнения n-й степени вида

                                                                                                                      (8)

называется двучленным уравнением. При  и  заменой [2])

,

где  - арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению

,

которое и будет далее рассматриваться.

Двучленное уравнение  при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и  комплексных):

              (  0, 1, 2,...,  ).                      (9)

       Двучленное уравнение  при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).

Двучленное уравнение  при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел  корней, вычисляемых по формуле

(  0, 1, 2,...,  ).                      (10)

Двучленное уравнение  при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет  корней, вычисляемых по формуле (10).

       Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.

       1) ().

       Уравнение имеет два действительных корня .

       2)        ().

Уравнение имеет один дествительный корень  и два комплексных корня

.

       3)       ().

Уравнение имеет два действительных корния  и два комплексных корня .

       4)       ().

       Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .

       5)        ().

Уравнение имеет один дествительный корень  и два комплексных корня

.

       6)       ().

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:

, .

Кубические уравнения

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

, где ,

оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

 

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

, где ,

разделить на , то коэффициент при  станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

                                                .                                                (11)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь  на  и перегруппируем слагаемые:

                                      .                                      (12)

Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при  и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

.

Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно  без члена с :

.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

                                                       .                                                       (13)

 

Формула Кардано

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

.

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

, или

.

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

 или

и взять в качестве  сумму  и . Заменой ,  эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при  со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что  и  - корни уравнения

.

Выпишем эти корни:

Переменные  и  равны кубическим корням из  и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:

.

Эта формула известная как формула Кардано.

 

Тригонометрическое решение

подстановкой  приводится к "неполному" виду

                    , , .                    (14)

Корни , , "неполного" кубичного уравнения (14) равны

, ,

где

, ,

.

Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.

       а) Если  ("неприводимый" случай), то  и

,

,

где

.

(b) Если , , то

,     ,

где

,            .

(с) Если , , то

,              ,

где

,      .

Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.

 

Биквадратное уравнение

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

,

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой  уравнение сводится к квадратному уравнению  с последующим решением двух двучленных уравнений  и  (  и  - корни соответствующего квадратного уравнения).

Если  и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:

,                 .

Если ,  [3]), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня  и мнимых сопряженных корня:

.

Если  и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:

,          .

 

Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

       Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

можно избавиться от члена  подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

.

       Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения  от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения:  и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять  в виде , тогда уравнение перепишется так:

                         .                         (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

 .

Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно  оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При  правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

       Решим для примера уравнение

.

       Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:

.

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

,

или, после упрощения,

.

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение

,

откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений -  и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

 

Решение Декарта-Эйлера

подстановкой  приводится к "неполному" виду

                                                 .                                                 (16)

Корни , , ,  "неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

,

причем ,  и  - корни кубичного уравнения

.

 

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени  () можно "обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

       После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени  при  неразрешимо в радикалах.

      

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

       Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

 

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

       В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь  является корнем многочлена  с целыми коэффициентами, то ее числитель  является делителем свободного члена , а знаменатель  - делителем старшего коэффициента .

           

Для доказательства достаточно подставить в уравнение  и умножить уравнение на . Получим

.

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на