Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2019-08-04 | 153 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные определения
В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.
Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв [1]). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .
Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: , , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , ,... или , ,...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , ,... – или теми же буквами, снабженными индексами: , ,... или , ,...).
В общем виде уравнение может быть записано так:
(, ,..., ) .
В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.
Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.
Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.
Если все решения уравнения являются решениями уравнения , то говорят, что уравнение есть следствие уравнения , и пишут
.
Два уравнения
и
называют эквивалентными, если каждое из них является следствие другого, и пишут
.
Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.
|
Уравнение считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям , , если множество решений уравнения совпадает с объединением множеств решений уравнений , .
Н е к о т о р ы е э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я:
Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.
Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.
эквивалентно двум уравнениям и .
Уравнение эквивалентно уравнению .
Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
,
где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.
Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида
+ +... + + ,
где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена , , ,..., , называются коэффициентами (или параметрами) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.
Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.
Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х) , где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.
Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.
Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.
|
Линейное уравнение
Линейным уравнением называется уравнение первой степени.
, (1)
где a и b – некоторые действительные числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.
Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число , получаем уравнение
, (2)
эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):
.
Квадратное уравнение
Алгебраическое уравнение второй степени.
, (3)
где , , – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.
Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.
При этом:
если , то уравнение имеет два различных действительных корня;
если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:
, ,
Частными видами квадратного уравнения (3) являются:
1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде
.
Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле
. (4)
Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.
2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде
( - целое число).
Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле
. (5)
|
Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.
Корни приведенного квадратного уравнения
связаны с его коэффициентами Формулами Виета
,
.
В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:
если , , то оба корня отрицательны;
если , , то оба корня положительны;
если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;
если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.
Перепишем еще раз квадратное уравнение
(6)
и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если
+ + , (7)
то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,
откуда
, .
которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).
,
Заметим, что , поэтому
,
откуда
.
,
но , из формулы (7) поэтому окончательно
.
Если положить, что + , то
,
Заметим, что , поэтому
,
откуда
,
но , поэтому окончательно
.
и
.
Двучленные уравнения
Уравнения n-й степени вида
(8)
называется двучленным уравнением. При и заменой [2])
,
где - арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению
,
которое и будет далее рассматриваться.
Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):
|
( 0, 1, 2,..., ). (9)
Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).
Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле
( 0, 1, 2,..., ). (10)
Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).
Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.
1) ().
Уравнение имеет два действительных корня .
2) ().
Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня
.
3) ().
Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .
4) ().
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .
5) ().
Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня
.
6) ().
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:
, .
Кубические уравнения
Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида
, где ,
оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.
Начнем с упрощения
Если кубическое уравнение общего вида
, где ,
разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения
. (11)
Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:
Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:
. (12)
Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:
|
.
Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :
.
Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида
. (13)
Формула Кардано
Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
.
Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :
, или
.
Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений
или
и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:
Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и - корни уравнения
.
Выпишем эти корни:
Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:
.
Эта формула известная как формула Кардано.
Тригонометрическое решение
подстановкой приводится к "неполному" виду
, , . (14)
Корни , , "неполного" кубичного уравнения (14) равны
, ,
где
, ,
.
Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.
а) Если ("неприводимый" случай), то и
,
,
где
.
(b) Если , , то
, ,
где
, .
(с) Если , , то
, ,
где
, .
Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
Биквадратное уравнение
Алгебраическое уравнение четвертой степени.
,
где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и - корни соответствующего квадратного уравнения).
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:
, .
Если , [3]), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:
.
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:
, .
Уравнения четвертой степени
Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.
Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени
можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:
.
Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:
. (15)
Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.
, или
.
Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид
,
а само уравнение сводится к двум квадратным:
.
Их корни и дают все решения исходного уравнения.
Решим для примера уравнение
.
Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде
и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:
.
Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:
,
или, после упрощения,
.
Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение
,
откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений - и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.
Решение Декарта-Эйлера
подстановкой приводится к "неполному" виду
. (16)
Корни , , , "неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений
,
в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие
,
причем , и - корни кубичного уравнения
.
Уравнения высоких степеней
Разрешимость в радикалах
Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени () можно "обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.
После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:
Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.
Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой <
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!