Точечный реактор. Уравнение обратных часов.

Замечание. Получена, строго говоря, приближённая форма уравнения обратных часов, поскольку в процессе его вывода было принято одно допущение: предполагалось, что величина эффективного коэффициента размножения k_эочень мало отличается от единицы, в связи с чем допускалось, чтоr»dk_э. Эта натяжка незначительно влияет на точность решения и не меняет качественного характера решения системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, но даёт возможность при этом значительно сократить объём математических преобразований при выводе уравнения обратных часов. Если бы мы не прибегали к указанному допущению, в результате более громоздкого вывода можно было бы получить более точное выражение для уравнения обратных часов (сравните):

(12.18а)

Уравнение обратных часов настолько важно и для анализа решений системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, и для практической деятельности оператора реакторной установки, что мы временно прервём ход решения дифференциальных уравнений кинетики и остановимся на нём более подробно.

1. Уравнение обратных часов.

а) Уравнение обратных часов как характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора. Развёрнутый вид уравнения обратных часов:

свидетельствует о том, что это - алгебраическое уравнение седьмой степени относительно Т. Для того, чтобы понять это, достаточно мысленно представить, что получится в числителе выражения правой части уравнения после приведения его к общему знаменателю: седьмая степень уравнения становится очевидной. А это значит, что уравнение обратных часов в самом общем случае должно иметь семь корней.

В разделе математики “Решение дифференциальных уравнений” говорится, что вид, величины и знаки корней характеристического уравнения определяют вид решения дифференциальных уравнений. В частности, если характеристическое уравнение имеет действительные корни, то решение дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) имеет экспоненциальный вид. Это побуждает нас заняться анализом корней уравнения обратных часов.

Но вначале следует уточнить одну немаловажную деталь: отыскивая с самого начала именно экспоненциальное решение для дифференциального уравнения изменения плотности нейтронов в виде одной экспоненты - n(t) = n_o exp (t/T), - мы невольно совершили небольшой просчёт, который следует исправить по ходу дела. Если уравнение обратных часов имеет семь корней, то общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора будет не одной экспонентой, а будет представлять собой сумму семи экспонент, показатели которых определяются величинами этих семи корней уравнения обратных часов:

или в более краткой форме:

(12.19)

где Т_о, T₁, T₂,..., T₆ - значения семи корней уравнения обратных часов, а A_o, A₁, A₂,..., A₆ - величины постоянных интегрирования, находимые путём подстановки в общее решение (12.19) конкретных начальных условий.

Знаки корней уравнения обратных часов наиболее наглядно видны, если показать его решение в графическом виде (см. рис.12.3).

r

1/T₆ 1/T₅ 1/T₄ 1/T₃ 1/T₂ 1/T₁ 1/T₀

-l₆ -l₅ -l₄ -l₃ -l₂ -l₁ 0 1/T

Рис,12.3. График зависимости корней уравнения обратных часов при положительных и

отрицательных реактивностях разной величины.

На этом графике показано решение уравнения обратных часов в зависимости не от величины самого периода Т, а от обратной ему величины 1/Т: так удобнее выполнять решение уравнения аналитически.

Как видим, функция r = f (1/T) имеет шесть точек разрыва (второго рода), и именно благодаря этой разрывности отдельные корни уравнения обратных часов отображаются на графике достаточно наглядно: области изменения каждого из семи корней по оси 1/T лежат между соответствующими точками разрыва; например, нулевой обратный корень 1/Т_о лежит правее первой точки разрыва (- l₁), первый обратный корень 1/Т₁ - между первой и второй точками разрыва (-l₁ и -l₂), второй обратный корень 1/T₂ - между второй и третьей точками разрыва (-l₂ и -l₃) и так далее; значения последнего, седьмого, обратного корня 1/Т₇ - располагаются левее последней, шестой, точки разрыва (-l₆).

При этом знаки всех семи корней уравнения обратных часов определяются самым наглядным образом: в точках пересечения соответствующих участков графика с горизонтальной прямой, отсекающей на оси ординат рассматриваемое значение реактивности r.

Из графика видно, что, если величина сообщаемой реактору реактивности положительна, то нулевой обратный корень 1/Т_о, а, значит, и сам корень Т_о, - положителен (т.к. располагается в правой полуплоскости, правее оси О - r). Остальные шесть корней (Т₁ ¸Т₆) уравнения обратных часов - отрицательны (лежат в левой полуплоскости). Если же величина сообщаемой реактору реактивности отрицательна, то все семь корней уравнения обратных часов отрицательны (лежат в левой, отрицательной, полуплоскости).Что касается величин самих корней, то они, как следует из графика, определяются только величиной сообщаемой реактору реактивностиr.

Теперь о знаках постоянных интегрирования (А_о ¸ А₆). Здесь не приводится полный (и очень громоздкий) аналитический вывод общего выражения для любой из постоянных интегрирования, которое имеет вид:

(12.20)

Квадрат выражения в скобках под знаком суммы, независимо от знака корня Т_i, всегда имеет положительный знак, и, поскольку все остальные величины знаменателя положительны, то весь знаменатель (12.20) - всегда положителен. А раз так, то знак постоянной интегрирования А_i всегда определяется знаком произведения rТ_i в числителе правой части этого выражения. То есть, если нулевой корень Т_о при r >0, как говорилось выше, положителен (Т_о > 0), то произведение rТ_о >0, а, следовательно, А_о >0. При отрицательной же величине реактивности (r <0) произведение отрицательного нулевого корня Т_о на отрицательную величину реактивности r даёт положительную величину произведения rТ_о, и, следовательно, величина нулевой постоянной интегрирования будет иметь положительный знак. Проделав такой микроанализ со всеми величинами постоянных интегрирования, можно прийти к общему выводу: