История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2018-01-14 | 164 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента: .
Если Х – дискретная случайная величина, а функция - монотонна, то различным значениям Х соответствует различные значения Y, а вероятности соответствующих значений Х и Y равны:
Если - немонотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, для которых вероятности находятся, как суммы вероятностей соответствующих значений Х:
Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения f (x), а функция - дифференцируемая монотонная функция, то для отыскания плотности распределения g (y) случайной величины Y находят:
1. функцию , обратную функции ;
2. функцию ;
3. производную .
Тогда плотность распределения g (y) случайной величины Y будет равна:
. (37)
Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и Y: , [4, c. 207].
Пусть Z = Х + Y. Тогда для отыскания значений Z находят всевозможные суммы значений Х и Y (в случае произведения Х и Y – всевозможные произведения значений, в случае разности – всевозможные разности). Если Х и Y независимы, то вероятности значений Z (в любом из указанных случаев) находят как произведения вероятностей соответствующих значений Х и Y. Таким образом, если zi = xj + yk, то p (zi) = p (xj)∙ p (yk) (аналогично, если zi = xj ∙ yk или zi = xj – yk).
Закон распределения двумерной дискретной случайной величины можно так же, как и при распределении одномерной дискретной случайной величины, задать аналитически и с помощью таблицы.
|
(20)
Таблица 5 – Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (Х, Y)
уj xi | у 1 | у 2 | … | уj | … | уm | Вероятности значений Х |
x 1 | p 11 | p 12 | … | p 1 j | … | p1m | |
x 2 | p 21 | p 22 | … | p 2 j | … | p2m | |
… | … | … | … | … | … | … | |
xi | pi 1 | pi 2 | … | pij | … | pim | |
… | … | … | … | … | … | … | |
xn | pn 1 | pn 2 | … | pnj | … | pnm | |
Вероятности значений Y |
В последнем столбце таблицы 5 указаны вероятности значений случайной величины X, а в последней строке – вероятности значений случайной величины Y. Найденные значения вероятностей каждой из случайных величин позволят составить соответствующие этим величинам законы распределения, [5, c. 124].
В случае отыскания условных законов распределения можно воспользоваться формулой (39), подставляя в неё соответствующие определённым условиям значения вероятностей. В формуле (39) приведены вероятности событий . Каждое из них заключается в том, что величина X принимает некоторое конкретное значение при условии, что Y принимает заранее определённое значение .
. (21)
Используя формулу (21) получим условный закон распределения величины X при условии, что Y принимает значение (табл. 6). При этом .
Таблица 6 – Условный закон распределения случайной величины Х
Х | x 1 | x 2 | … | xi | … | xn |
… | … |
Функция распределения двумерной дискретной случайной величины определяется по формуле: . Её свойства аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины и вытекают из них.
Функция распределения двумерной непрерывной случайной величины может быть найдена через её плотность распределения по формуле (40).
Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины f (x, y) имеет свойства, вытекающие из свойств функции распределения одномерной случайной величины. Для f (x, y) выполняется:
1. .
2.
3. .
4. Вероятность попадания случайной точки (x, y), каждая координата которой принадлежит множеству действительных чисел R, в область равна .
|
5. Плотности распределения и случайных величин соответственно Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) можно получить, зная плотность распределения f (x, y):
;
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ
2.1 Задачи на основные понятия и теоремы теории вероятностей
Задача 2.1.1
Покупатель приобрёл телевизор и магнитофон. Вероятность того, что в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор, равна 0,85, а для магнитофона она равна 0,98. Найти вероятность того, что
а) оба они выдержат гарантийный срок службы;
б) хотя бы один из них не выдержит гарантийного срока службы.
Решение:
Рассмотрим события:
А - в течение гарантийного срока не выйдет из строя телевизор,
В - в течение гарантийного срока не выйдет из строя магнитофон.
По условию задачи
Р (А) = 0,85; Р (В) = 0,98.
а) Пусть событие С заключается в том, что оба они выдержат гарантийный срок службы, тогда С = А · В.
Так как события А и В независимы, то по теореме (13) умножения вероятностей Р (С) = Р (А)· Р (В). То есть Р (С) = 0,85· 0,98 = 0,833 ≈ 83 %.
б) Пусть событие D заключается в том, что хотя бы одно изделие не выдержит гарантийного срока службы. Тогда событие означает, что оба изделия будут исправны:
= С = А · В, Р () = 0,833. Найдём P (D):
P (D) = 1 – P () = 1 - 0,833 = 0,167 ≈ 17 %.
Ответ: а) вероятность того, что оба изделия выдержат гарантийный срок службы, равна 83 %; б) вероятность того, что хотя бы одно из них не выдержит гарантийного срока службы, равна 17%.
Задача 2.1.2
Предполагая, что для шахматиста в каждой партии равновероятны три исхода: выигрыш, ничья и проигрыш, найти вероятность того, что из четырёх партий шахматист
а) не проиграет ни одной партии;
б) проиграет хотя бы две партии.
Решение:
а) Рассмотрим события: Н 1 – выигрыш, Н 2 – ничья, Н 3 – проигрыш, В – шахматист не проиграет ни одной партии; Вi – шахматист не проиграет i - ую партию, i = 1, 2, 3, 4.
При этом, Вi = Н 2 + Н 3, а В = В 1 · В 2 · В 3 · В 4. Так как события Вi независимы, то согласно формуле (13), Р (В) = Р (В 1)· Р (В 2)· Р (В 3)· Р (В 4).
Найдём вероятности событий Вi:
По условию задачи Р (Н 1)= Р (Н 2)= Р (Н 3), а так как эти события образуют полную группу в случае одной партии, то вероятность каждого из них р = . Тогда, согласно формуле (10), так как события Н 2 и Н 3 несовместны, Р (Вi)= + = . Следовательно,
б) Пусть события Сi означают проигрыш i партий, i = 0, 1, 2, 3, 4. Тогда событие С – проиграть хотя бы две партии – можно выразить следующим образом:
|
.
Событием, противоположным С, будет событие , при этом . Найдём вероятность . Так как события несовместны, по теореме сложения вероятностей (10) получим:
. При этом
Так как для каждой парии, а все партии – независимые испытания, то для отыскания можно использовать формулу Бернулли (16):
.
Тогда
а
Ответ: а) вероятность того, что из четырёх партий шахматист не проиграет ни одной партии, равна 20%; б) вероятность того, что из четырёх партий шахматист проиграет хотя бы две партии, равна 41%.
Задача 2.1.3 (о встрече)
Двое приятелей договорились встретиться с 10 до 11 часов в определенном месте, причём пришедший первым ждет в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность встречи.
Решение:
Пусть событие А соответствует встрече. Если за х обозначить время прихода первого товарища, а за у – второго, то условие их встречи можно задать системой неравенств:
На плоскости хОу область , соответствующая общему числу исходов, будет определена системой , а область D, соответствующая числу исходов, благоприятствующих событию А, определяется неравенством (рисунок 1).
Из последнего неравенства получим:
Тогда по определению геометрической вероятности (8), вероятность события А будет равна:
Рисунок 1 – Области для отыскания геометрической
вероятности в задаче 2.1.3
Ответ: вероятность встречи равна
Задача 2.1.4
Доказать, что для событий А и В выполняется: , где - невозможное событие.
Решение:
По свойствам действий над событиями (стр. 9) получим:
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!