Алгоритм 1. Построение эйлерова цикла

выбрать произвольно вершину a

(положить a в стек S)

while do

x:=top(S) (x – верхний элемент стека)

if имеется непройденное ребро (x,y)

then пометить ребро (x,y) как пройденное

else переместить вершину x из S в C

При каждом повторении цикла while в рассмотренном алгоритме либо проходится одно ребро, либо одна вершина перемещается из S в C. Последнее можно трактовать как прохождение уже пройденного однажды ребра в обратном направлении. Каждое ребро в каждом направлении будет пройдено один раз, поэтому общая трудоемкость этого алгоритма оценивается как O(m).

Гамильтоновы пути и циклы.

Гамильтоновым циклом (путем) называют простой цикл, содержащий все вершины графа.

Для гамильтоновых циклов (и путей) неизвестно никаких просто проверяемых необходимых и достаточных условий их существования, а все известные алгоритмы требуют для некоторых графов перебора большого числа вариантов.

Гамильтонов цикл представляет собой, с комбинаторной точки зрения, просто перестановку вершин графа. При этом в качестве начальной вершины цикла можно выбрать любую вершину, так что можно рассматривать перестановки с фиксированным первым элементом. Самый бесхитростный план поиска гамильтонова цикла состоит в последовательном рассмотрении всех этих перестановок и проверке для каждой из них, представляет ли она цикл в данном графе. Такой способ уже при не очень большом числе вершин становится практически неосуществимым ввиду быстрого роста числа перестановок.

Более рациональный подход состоит в рассмотрении всевозможных простых путей, начинающихся в произвольно выбранной стартовой вершине a, до тех пор, пока не будет обнаружен гамильтонов цикл или все возможные пути не будут исследованы. По сути дела, речь тоже идет о переборе перестановок, но значительно сокращенном - если, например, вершина b не смежна с вершиной a, то все (n-2)! перестановок, у которых на первом месте стоит a, а на втором b, не рассматриваются.

Рассмотрим этот алгоритм подробнее. Будем считать, что граф задан окрестностями вершин: для каждой вершины x задано множество вершин, смежных с x. На каждом шаге алгоритма имеется уже построенный отрезок пути, он хранится в стеке PATH. Для каждой вершины x, входящей в PATH, хранится множество N(x) всех вершин, смежных с x, которые еще не рассматривались в качестве возможных продолжений пути из вершины x. Когда вершина x добавляется к пути, множество N(x) полагается равным V(x). В дальнейшем рассмотренные вершины удаляются из этого множества. Очередной шаг состоит в исследовании окрестности последней вершины x пути PATH. Если и в N(x) имеются вершины, не принадлежащие пути, то одна из таких вершин добавляется к пути. В противном случае вершина x исключается из стека. Когда после добавления к пути очередной вершины оказывается, что путь содержит все вершины графа, остается проверить, смежны ли первая и последняя вершины пути, и при утвердительном ответе выдать очередной гамильтонов цикл.