Устойчивость импульсных систем — КиберПедия 

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Устойчивость импульсных систем



 

Для определения устойчивости можно воспользоваться известными в линейной теории критериями устойчивости, применив их к импульсным системам. Рассмотрим структурную схему импульсной системы (рис. 25).

 

 

Рис. 25

 

Входной сигнал G(Z), выходной Y(Z) и сигнал рассогласования X(Z) записаны с использованием Z–преобразования.

Известна передаточная функция разомкнутой системы W(Z), также записанная с использованием Z–преобразования (3.24).

Если импульсная система содержит простейший импульсный элемент и апериодическое звено первого порядка с интегратором, то передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

где

Для этой системы получена также передаточная функция замкнутой системы

По передаточной функции замкнутой системы можно записать уравнение системы

[Z2+(K1T–K1T1+K1T1d–d–1)Z+(K1T1–K1T1d–K1Td+d)]Y(Z) =

= K1[(T–T1+T1d)Z+(T1–T1d–Td)]G(Z). (3.28)

Обозначим 1=а0;

K1T–K1T1+K1T1d–d–1=a1;

K1T1–K1T1d–K1Td+d=a2;

K1(T–T1+T1d)=b0;

K1(T1–T1d–Td)=b1.

Перепишем уравнение в общем виде

0Z2+a1Z+a2)Y(Z)=(b0z+b1) G(Z) (3.29)

Для определения устойчивости системы нужно решить характеристическое уравнение

а0Z2+a1Z+a2=0. (3.30)

Известно, что корни характеристического уравнения Z1, Z2 можно представить на комплексной плоскости. Определим величины корней, при которых система будет устойчива.

Учитывая, что Z=epT, где p – оператор преобразования Лапласа, а для устойчивости системы по Ляпунову необходимо иметь отрицательные вещественные части корней характеристического уравнения системы, видим, что корни характеристического уравнения в области Z–преобразования должны лежать внутри единичной окружности.

Пусть имеем: Z1=α+jβ;

Z2=α–jβ.

Для устойчивости системы необходимо иметь

(3.31)

На комплексной плоскости корни лежат внутри единичной окружности (рис. 26).

 

 

Рис. 26

 

Если один из корней в области Z–преобразования будет расположен за пределами единичной окружности, то система станет неустойчивой.

При наличии корня │Z│=1 система будет находиться на границе устойчивости.

Определение: Импульсная система автоматического регулирования будет устойчива, если корни характеристического уравнения, записанного через Z–преобразование, будут лежать на комплексной плоскости внутри окружности единичного радиуса.

Пример.

Пусть в системе с простейшим импульсным элементом, апериодическими интегрирующими звеньями имеем: T1=0.1c, K1=10, T=0.01c.

Вычислим коэффициенты характеристического уравнения, записанного через Z–преобразование



а0=1;

a1=K1T–K1T1+K1T1d–d–1=0.1–1+0.9–0.9–1=–1.9;

a2=K1T1–K1T1d–K1Td=1–0.9–0.09+0.9=0.91.

Характеристическое уравнение:

Z2–1.9Z+0.91=0;

Z1=0.95+j0.087; Z2=0.95–j0.87;

Данная система устойчива.

Применим модифицированное w–преобразование

к характеристическому уравнению, записанному через Z–преобразование.

а0Z2+a1Z+a2=0.

После преобразований получим

(3.32)

Обозначим

А0=(а0–a1+a2)T2/4;

А1=(a0–a2)T;

А2=(а0–a1+a2).

Получим новое характеристическое уравнение

А0w21w+А2=0. (3.33)

Определим корни w1,2 полученного характеристического уравнения. По расположению корней w1,2 можно судить об устойчивости системы, пользуясь известными из линейной теории автоматического регулирования теоремами Ляпунова.

Определение: Импульсная система автоматического регулирования будет устойчива, если корни характеристического уравнения, записанного через w–преобразования, будут лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Пример.

Рассмотрим устойчивость уже исследованной системы, используя w–преобразование. Для этой системы получили:

а0=1;

a1=–1.9;

a2=0.91;

Т=0.01с.

Вычислим

А0=(а0–a1+a2)T2/4=(1+1.9+0.91)10-4/4=0.95∙10-4;

А1=(a0–a2)T=(1–0.91)∙0.01=0.9∙10-3;

А2=(а0–a1+a2)=1–1.9+0.91=0.01.

Характеристическое уравнение имеет вид

0.95∙10-4w2+0.9∙10-3w+0.01=0.

Вычислим корни уравнения

Видим, что вещественные части корней отрицательны –4.74<0, значит, система устойчива.

Пользуясь уравнением, записанным через w–преобразование, можно воспользоваться критериям Гурвица и Михайлова, а также следствиями из критерия Гурвица в обычных формулировках.

Для применения критерия Гурвица и его следствий рассмотрим характеристическое уравнение вида

А0w21w+А2=0.

Матрица строится из коэффициентов А0, А1, А2 в виде

(3.34)

Для устойчивости системы необходимо, чтобы

А0 > 0;

Δ1=|А1| > 0; (3.35)

Δ21A2 > 0.

Пример.

Для рассмотренной системы имеем А0=0.95∙10-4;

А1=0.9∙10-3;

А2=0.01;

Δ1=|0.9·10-3|= 0.9·10-3;

Δ2=|0.9·10-3|·0.01=0.9·10-5.

Видим, что А0=0.95·10-4 > 0;



Δ1=0.9·10-3 > 0;

Δ2=0.9·10-5 > 0.

Значит, система устойчива.

В соответствии со 2–м следствием из критерия Гурвица для устойчивости системы достаточно в уравнении А0w21w+А2=0 иметь положительные коэффициенты. В рассмотренном примере это имеет место, значит система устойчива.

Для применения критерия Михайлова следует рассмотреть многочлен

D(jω*)=A0(jω*)2+A1(jω*)+A2=X(ω*)+jY(ω*).

Построить кривую Михайлова в координатах Х,Y и определить угол поворота вектора D(jω) при изменении псевдочастоты ω* от 0 до ∞.

Аналогичным образом можно применить критерий Найквиста и логарифмический, построив АФХ или ЛАХи, как это указано в предыдущем параграфе.

 






Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...





© cyberpedia.su 2017 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав

0.01 с.