Свободные гармонические колебания. Характеристики колебаний: амплитуда, частота, период, фаза. Уравнение гармонических колебаний. Превращение энергии при гармонических колебаниях.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов, переменный электрический ток и т. д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Рэлеем (1842—1919), А. Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П. Н. Лебедевым (1866—1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л. И. Мандельштам (1879—1944) и его ученики.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, 0 — круговая (циклическая) частота, — начальная фаза колебания в момент времени t= 0, ( 0 t + ) — фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2 , т. Е

Откуда (2)

Величина, обратная периоду колебаний, (3)

т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим

Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

(4)

(5)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (4) и (5) соответственно равны А 0 и А . Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на / 2, а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на . Следовательно, в моменты времени, когда s= 0, d s/ d t приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d ²s/ d t ² приобретает наибольшее положительное значение (рис. 198).

 

Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(где s = A cos ( 0 t + )). Решением этого уравнения является выражение (1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси х, под углом , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 199). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s = A cos ( 0 t + ). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ₀ вокруг этой точки.

В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел

(7)

где i= — мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (1) можно записать в комплексной форме: (8)

Вещественная часть выражения (8)

представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (8) будем записывать в виде

В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.

Гармонические колебания - периодический процесс, в котором рассматриваемый параметр изменяется по гармоническому закону. Если на колебательную систему не действуют внешние переменные силы, то такие колебания называются свободными. Рассмотрим массу, которая колеблется на пружине как показано на рисунке. Если амплитуда колебаний мала, то координата x массы по вертикальной оси изменяется по гармоническому закону:

или

,

где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний, происходящих в течение 2π секунд; — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.

Т-период колебаний

А-амплитуда

Дифференциальное уравнение, описывающее гармонические колебания, имеет вид

период колебаний равен

и, соответственно, угловая частота w равна

w = (k / m)^1/2

Амплитуда колебаний A и фаза колебаний j зависят от начальных условий (в момент времени t =0): начального смещение грузика x ₀ и начальной скорости v ₀. В состоянии равновесия пружина растянута на величину mg / k.

Рассмотрим на примере колебаний груза на пружине, какие превращения энергии происходят в колебательной системе. Сначала рассмотрим случай, когда в системе нет трения. Первоначальное положение системы показано на следующем рисунке (а).

рисунок

Выведем систему из положения равновесия, оттянем шарик вправо на расстояние Хm. На рисунке выше положение (б). При этом мы сообщим системе некоторую потенциальную энергию.