Понятие симметрии. Теорема Нетер

В той или иной мере представление о симметрии есть у каждого человека. Этим свойством обладают самые разные предметы, играющие важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук симметричная форма придается как из эстетических, так и практических соображений. Возможно, наиболее симметричным продуктом деятельности человека является мяч, который выглядит всегда одинаково, как бы его не поворачивали. Симметрия широко распространена в природе – гексагональная форма снежинок, различные геометрические формы кристаллов, приближенно зеркальная симметрия человеческого тела и т.д.

Дать общее определение понятию «симметрия» довольно сложно. Очень часто симметрию связывают с красотой. «Симметричное означает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия – тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», – писал Г. Вейль. В «Кратком Оксфордском словаре» симметрия определяется как «…красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью».

Рисунок 5 – Примеры симметрии в природе

Симметрия занимает важное место в естественных науках, приводя к многочисленным упрощениям картины мира и установлению сходства между различными ее областями.

Симметрия (в физике) – свойство физических величин оставаться неизменными (инвариантными) при определенных преобразованиях. Эти преобразования называются операциями симметрии.

К операциям симметрии относятся, например, операция отражения в зеркале, сдвиг, поворот. Сдвиговой симметрией обладают кристаллы, для которых характерно регулярное расположение частиц с периодической повторяемостью в трех измерениях. Осевой симметрией обладают правильные геометрические фигуры. Так, поворот квадрата на 90° относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, совмещает квадрат с самим собой.

Симметрии делятся на пространственно-временные (внешние) и внутренние, описывающие свойства элементарных частиц.

Пространство и время однородны, т.е. обладают сдвиговой симметрией: параллельный перенос системы координат и сдвиг начала отсчета времени не изменяют законов природы. Изотропность пространства означает, что оно обладает осевой симметрией: поворот осей координат на произвольный угол не изменяет законов природы.

В современной физике обнаруживается определенная иерархия симметрий. Приведенные выше симметрии имеют место при любых взаимодействиях. Существуют симметрии, выполняющиеся только при сильных и электромагнитных взаимодействиях, при слабых взаимодействиях эти симметрии нарушаются. К таким симметриям относятся, например, зеркальная симметрия, операция зарядового сопряжения, изотопическая инвариантность и т.д., эти симметрии называются внутренними. Зеркальная симметрия (инверсия пространства, заключающаяся в замене координат x,y,z на - x,-y,-z) означает, что отражение в зеркале не меняет физических законов. Замена всех частиц на античастицы называется операцией зарядового сопряжения, такая операция симметрии также не изменяет протекающих в природе процессов сильного и электромагнитного взаимодействий. Изотопическая инвариантность связана со сходством протона и нейтрона (они отличаются только наличием у протона электрического заряда, что не сказывается на ядерных процессах).

В 1918 г. Амали Эмми Нетер доказала фундаментальную теорему, согласно которой существование любой конкретной симметрии – в пространстве-времени, степенях свободы элементарных частиц и физических полей – приводит к соответствующему закону сохранения, причем из этой теоремы следует и конкретная структура сохраняющейся величины. Из инвариантности относительно сдвига во времени следует закон сохранения энергии; из симметрии относительно пространственных сдвигов следует закон сохранения импульса; из инвариантности относительно пространственного вращения следует закон сохранения момента импульса. Физические законы не изменяются при преобразованиях Лоренца, связывающих значения координат и времени в различных инерциальных системах отсчета (принцип относительности). Из принципа относительности следует закон сохранения скорости движения центра масс изолированной системы.

Существование внутренних симметрий также связано с определенными законами сохранения. Зеркальная симметрия приводит к сохранению особого квантового числа – четности, которое следует приписать каждой частице. Сохранение четности означает инвариантность природы по отношению к замене правого левым и наоборот; как уже отмечалось, пространственная четность в слабых взаимодействиях не сохраняется. Сложное преобразование, заключающееся в одновременной инверсии пространства и замене частиц на античастицы называется комбинированной инверсией. Закон сохранения комбинированной четности выполняется при любых взаимодействиях. Изотопическая инвариантность приводит к сохранению изотопического спина при сильных взаимодействиях (слабые взаимодействия протекают, как правило, с изменением изотопического спина). Существуют законы сохранения электрического, барионного и лептонного зарядов, выражающие особую симметрию волновой функции, и т.д. Согласно современным представлениям, электрический заряд при всех превращениях элементарных частиц должен сохраняться всегда. Барионный и лептонный заряды, возможно, не сохраняются строго, хотя экспериментальные нарушения закона сохранения этих зарядов пока не обнаружены. Несоблюдение одного из законов сохранения означает нарушение в данном взаимодействии соответствующего вида симметрии.

Законы сохранения представляют собой мощное орудие исследования. Часто бывает, что точное решение уравнений движения оказывается очень сложным или действующие силы неизвестными. Поскольку законы сохранения не зависят от характера действующих сил, то с их помощью можно получить ряд важных сведений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы оказываются неизвестными. С помощью законов сохранения были открыты ряд элементарных частиц. Так, для того, чтобы в процессе β-распада выполнялись законы сохранения энергии и момента импульса, В. Паули предположил (1932) существование неизвестной к тому времени частицы

нейтрино. Эта частица была первоначально “открыта” на бумаге, ей были приписаны свойства, необходимые для выполнения законов сохранения. Непосредственное экспериментальное доказательство существования нейтрино было получено только в 1956 г., т.е. почти через 25 лет.