Задача минимизация издержек и свойства функции издержек. Особенности краткосрочного и долгосрочного периода производства.

В краткосрочном периоде, как уже отмечалось, фирма максимизирует прибыль при условии равенства предельного дохода ресурса предельным издержкам на ресурс (MRP_L = MRC_L).Используя несколько ресурсов, например труд и капитал, фирма максимизирует прибыль, если данное условие соблюдается для каждого ресурса, т. е. MRP_L = MRC_L и MRP_K = MRC_K.

В обобщенном виде условие максимизации прибыли при использовании труда и капитала можно представить следующим образом:

В условиях совершенно конкурентного рынка ресурсов, когда фирма не может воздействовать на цены ресурсов, предельные издержки на ресурсы равняются их ценам. Поэтому условие максимизации прибыли в долгосрочном периоде можно представить следующей формулой:

Необходимо подчеркнуть, что в отличие от правила минимизации издержек, предполагающего пропорциональное соотношение предельных продуктов и цен используемых ресурсов, условие максимизации прибыли требует равенства предельного дохода каждого ресурса предельным издержкам на него или ценам ресурсов.

Таким образом, максимизирующее прибыль использование экономических ресурсов на совершенно конкурентных факторных рынках предполагает такую их комбинацию, при которой каждый вводимый ресурс применяется до тех пор, пока его предельный доход не сравняется с его ценой. Наша цель — изучение поведения фирм, максимизирующих прибыль как в конкурентной, так и в неконкурентной рыночной среде. В предшествующей главе мы начали наше исследование поведения фирмы, нацеленного на максимизацию прибыли в конкурентной среде, непосредственно с изучения задачи максимизации прибыли. Однако ряд важных умозаключений может быть получен при более косвенном подходе к данной проблеме. Разделим задачу максимизации прибыли на два этапа. Вначале рассмотрим задачу минимизации издержек производства любого заданного объема выпуска, а затем выбор самого прибыльного объема выпуска. В настоящей главе мы проанализируем первый этап решения задачи —минимизацию издержек производства заданного объема выпуска.

Минимизация издержек Предположим, что у нас имеется два фактора производства с ценами w ₁ и w ₂ и мы хотим найти самый дешевый способ производства заданного объема выпуска y. Если обозначить используемые количества каждого из двух факторов через x ₁ и x ₂, а производственную функцию для фирмы — через f (x ₁, x ₂), то эту задачу можно записать в виде: min w ₁ x ₁ + w ₂ x ₂ при f (x ₁, x ₂) = y. При проведении подобного рода анализа следует сделать те же предупреждения, что и в предыдущей главе: убедитесь, что вы включили в подсчет издержек все издержки производства и что все измерения производятся в совместимом временном масштабе. Решение этой задачи минимизации издержек — величина минимальных издержек, необходимых для достижения определенного объема выпуска, — будет зависеть от w ₁, w ₂ и y, поэтому мы запишем это решение как c (w ₁, w ₂, y). Эта функция известна как функция издержек, и она будет представлять для нас значительный интерес. Функция издержек c (w ₁, w ₂, y) показывает минимальные издержки производства y единиц выпуска при ценах факторов, равных (w ₁, w ₂). Чтобы понять решение этой задачи, изобразим функцию издержек и технологические ограничения для фирмы на одном графике. Изокванты дают нам технологические ограничения — все комбинации x ₁ и x ₂, с помощью которых можно произвести y. Предположим, что мы хотим нанести на график все комбинации факторов, дающие один и тот же уровень издержек C. Мы можем записать это в виде выражения w ₁ x ₁ + w ₂ x ₂ = C, которое может быть преобразовано в x ₂ = — x ₁. Легко увидеть, что это уравнение прямой, имеющей наклон — w ₁/ w ₂ и точку пересечения с вертикальной осью C / w ₂. Изменяя число C, мы получаем целое семейство изокост. Каждая точка изокосты выражает одни и те же издержки C, и более высокие изокосты связаны с большими издержками. Таким образом, наша задача минимизации издержек может быть перефразирована следующим образом: найти на изокванте точку, с которой связана самая низкая изокоста. Такая точка показана на рис.19.1. Обратите внимание на то, что если оптимальное решение предполагает использование некоторого количества каждого из факторов и если изокванта представляет собой гладкую кривую, то точка минимизации издержек будет характеризоваться условием касания: наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты. Или, пользуясь терминологией гл.17, технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов: — = TRS( , ) = — . (19.1) (В случае краевого решения, когда один из двух факторов не используется, условие касания удовлетворяться не должно. Аналогичным образом, если производственная функция имеет "изломы", условие касания теряет смысл. Эти исключения подобны исключениям в ситуации с потребителем, поэтому в настоящей главе мы не будем акцентировать внимание на ука занных случаях.

Рис.19.1Минимизация издержек. Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки производства, может определяться нахождением на изокванте точки, связываемой с самой низкой изокостой. Алгебра, скрывающаяся за уравнением (19.1), трудностей не представляет. Рассмотрим любое изменение структуры производства (D x ₁, D x ₂), при котором выпуск остается постоянным. Такое изменение должно удовлетворять уравнению:

MP ₁( , )D x ₁ + MP ₂( , )D x ₂ = 0. (19.2)

Обратите внимание на то, что D x ₁ и D x ₂ должны иметь противоположные знаки; если вы увеличиваете используемое количество фактора 1, то для сохранения выпуска неизменным вам придется уменьшить используемое количество фактора 2.

Если мы находимся в точке минимума издержек, то данное изменение не может привести к снижению издержек, поэтому должно соблюдаться условие:

w ₁D x ₁ + w ₂D x ₂ ≥ 0. (19.3)

Теперь рассмотрим изменение (—D x ₁, —D x ₂), при котором также производится постоянный объем выпуска и издержки также не могут снижаться. Это подразумевает, что

— w ₁D x ₁ — w ₂D x ₂ ≥ 0. (19.4)

Сложив выражения (19.3) и (19.4), получим

w ₁D x ₁ + w ₂D x ₂ = 0. (19.5)

Решение уравнений (19.2) и (19.5) для D x ₂/D x ₁ дает нам

= — = — ,

а это не что иное, как условие минимизации издержек, выведенное выше путем геометрических рассуждений.

Обратите внимание на некоторое сходство рис. 19.1 с решением задачи потребительского выбора, графически изображенным ранее. Хотя эти решения и выглядят одинаково, на самом деле они относятся к разным задачам. В задаче потребительского выбора прямая являлась бюджетным ограничением, и потребитель в поисках наиболее предпочитаемого положения двигался вдоль бюджетного ограничения. В задаче с производителем изокванта представляет собой технологическое ограничение, и производитель в поисках оптимального положения перемещается вдоль изокванты.

Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки фирмы, вообще говоря, зависит от цен факторов и от того объема выпуска, который фирма хочет производить, поэтому мы записываем эти выбранные количества факторов в виде x ₁(w ₁, w ₂, y) и x ₂(w ₁, w ₂, y). Это так называемые функции условного спроса на факторы, или функции производного спроса на факторы. Они показывают взаимосвязь между ценами и выпуском и оптимальный выбор фирмой количества факторов при условии производства фирмой заданного объема выпуска y.

Обратите особое внимание на различие между функциями условного спроса на факторы и функциями спроса на факторы, максимизирующего прибыль, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Функции условного спроса на факторы показывают выбор, минимизирующий издержки при заданном объеме выпуска; функции же спроса на факторы, максимизирующего прибыль, показывают выбор, максимизирующий прибыль при заданной цене фактора.

Функции условного спроса на факторы, как правило, не являются непосредственно наблюдаемыми: они представляют собой гипотетическое построение и отвечают на вопрос, сколько каждого фактора использовала бы фирма, если бы хотела произвести заданный объем выпуска самым дешевым способом. Однако функции условного спроса на факторы полезны в качестве способа отделения задачи определения оптимального объема выпуска от задачи определения метода производства, минимизирующего издержки.