Виды функции ожидаемой полезности по отношению игроков (потребителей) к риску: нерасположенные к риску; нейтральные к риску и предпочитающие риск (склонные к риску).

Очевидно, что индивидуумы различаются своей готовностью пойти на риск. Некоторые не хотят рисковать, другим это нравится, а иные к риску безразличны (нейтральны).

Наиболее распространенное отношение к риску – это не расположенные к нему. Достаточно сослаться на огромное число рискованных ситуаций, когда люди страхуются, то есть, заключают договоры по страхованию жизни, автомобиля, жилья, ищут работу с относительно стабильной заработной платой.

1) Таким образом, противником риска считается человек, который при данном ожидаемом доходе предпочитает определенный гарантированный результат ряду неопределенных рисковых результатов.

Рассмотрим, как эта ситуация выглядит графически (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Не расположенность к риску

Кривая ОВ задает функцию полезности и указывает на уровень полезности, который может достигаться при каждом уровне дохода. Уровень полезности растет с 10 до 16 и далее до 18 единиц при росте дохода с 20 000 до 40 000 ден. ед. и далее до 60 000 ден. ед. При этом предельная полезность снижается с ростом дохода.

Предположим, что индивидуум может выбрать работу со стабильным доходом в 40 000 ден. ед. или связанную с риском работу, которая с одинаковой вероятностью 0,5 может увеличить его доход до 60 000 или снизить до 20 000 ден. ед.

Как показывает рис. 3.1, уровень полезности при доходе 20 000 ден. ед. равен 10, а уровень полезности при доходе 60 000 ден. ед. равен 18. Так как ожидаемая полезность является суммой полезностей, связанных со всеми возможными результатами, взвешенных по вероятности каждого результата, то ее величина окажется равной:

Σ(U)=0,5Ux20000+0,5Ux60000=0,5x10+0,5x18=14.

Стабильный доход в 40 000 ден. ед. дает полезность, равную 16, что больше, чем ожидаемая полезность при работе, связанной с риском. Риск для людей, нерасположенных к нему, – серьезное испытание, и они готовы пойти на него лишь в том случае, если им предложат определенную компенсацию.

2) Нейтральным к риску считается индивидуум, который при данном ожидаемом доходе безразличен к выбору между гарантированным и рискованным результатами. Графически это может быть выражено с помощью рис. 3.2

. Рис. 3.2. Нейтральное отношение к риску

В данном случае полезность работы, связанной с риском, составляет:

Σ(U)=0,5Ux20000+0,5Ux60000=0,5x8+0,5x18=4+9=13,

что равно полезности работы, связанной с получением стабильного дохода.

3) И наконец, расположенным (склонным) к риску считается индивидуум, который при данном ожидаемом доходе предпочитает связанный с риском результат определенному гарантированному результату.

Графически это выглядит следующим образом (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Расположенность (склонность) к риску

В числовом выражении ожидаемая полезность от рискованного решения составит:

Σ(U)=0,5Ux20000+0,5Ux60000=0,5x3+0,5x 18=1,5+9,0=10,5,

что выше, чем полезность с гарантированным результатом 40 000 ден. ед.

Свидетельством расположенности к риску является то, что многим нравится предпринимательство, игра на бирже и т. д.

Вознаграждением за риск является сумма денег, которую человек, не склонный к риску, готов заплатить, чтобы избежать его. Эта величина зависит от тех связанных с риском альтернативных вариантов, с которыми он сталкивается. Так, в примере, соответствующем рис. 3.1, вознаграждение за риск равно 6000 ден. ед. Эта цифра определяется следующим образом: ожидаемая полезность 14 достигается субъектом, рассматривающим возможность выхода на связанную с риском работу с ожидаемым средним доходом 40 000 ден. ед. Однако этот же уровень полезности, может быть, достигнут при стабильном доходе 34 000 ден. ед. Таким образом, 6000 ден. ед. составляют ту величину дохода (40 000 - 34 000), которым он готов пожертвовать, предпочитая работу со стабильным доходом рискованному заработку.

В целом нерасположенные к риску люди предпочитают риск, связанный с меньшей дисперсией в доходах. Чем больше изменчивость, тем больше человек готов заплатить, чтобы избежать рискованных вариантов.

7. Приведение сложных лотерей. Справедливая цена лотереи. Понятие справедливой игры. Предельная полезность игры и склонность игрока к риску. Традиционная неоклассическая модель потребительского выбора в условиях неопределенности – модель ожидаемой полезности основывается на предпочтениях индивида в отношении случайных вариантов потребления. В модели категория «полезность» применяется к случаям выбора потребителя из исходов, характеризующихся той или иной степенью неопределенности и вероятности наступления этих исходов.

В анализе поведения потребителя фон Неймана-Моргенштерна совместно используется теория полезности и теория вероятности. Анализ основан на аксиомах о вероятностной совокупности наборов товаров. Потребители ведут себя так, как если бы они максимизировали ожидаемую полезность, т.е. ожидаемое значение функции полезности, аргументами которой являются выбор из возможных вариантов в условиях неопределенности и вероятность существования этих вариантов. В результате обосновывается функция полезности, обладающая измерительными свойствами, которые можно использовать в процессе принятия решений в условиях риска. Такие функции называются функциями полезности фон Неймана-Моргенштерна.

Основным понятием рассматриваемой теории полезности является лотерея, которая определяется как множество наборов, каждый из которых может быть получен потребителем с заданной вероятностью. Так, набор может быть получен с вероятностью , набор - с вероятностью , …, набор - с вероятностью . Лотерею представим в виде: , где . Если набор потребитель выигрывает наверняка, то лотерея будет представлена как Если лотерея , то набор выигрывает с вероятностью а набор с вероятностью .

Согласно первой аксиоме полезности фон Неймана-Моргенштерна предполагается существование отношения предпочтения, которое является совершенной полуупорядоченностью всех лотерей, является совершенным, транзитивным и рефлексивным. Безразличие (̴) и строгое предпочтение () определены здесь так же, как и в теории потребительского поведения.

Аксиома монотонности состоит в следующем. Даны два набора и , для которых ; тогда , если и только если . Это означает, что потребитель отдает предпочтение лотерее с большей вероятностью получить предпочитаемый набор. Набор, который получают наверняка, т.е. для всех , предпочтительнее любой лотереи, содержащей его и менее предпочтительный набор.

Аксиома непрерывности утверждает, что, если даны три набора для которых тогда существует вероятность для которой ̴ , где . Т.е. выбранные лотереи интерполируют между предпочтениями в том смысле, что потребитель не делает различий между лотереей, содержащей более предпочтительный и менее предпочтительный наборы, и определенностью получения некоторого набора, занимающего промежуточное положение.

Аксиома о независимости не связанных между собой альтернатив отмечает: если заданы два набора и , для которых ̴ , тогда для любого третьего набора справедливо ̴ , для всех . Присутствие третьего набора не нарушает предпочтений.

Аксиома о приведении сложных лотерей. Дано лотерей: . Рассмотрим сложную лотерею . Под сложной лотереей имеется в виду лотерея, в которой в качестве исходов также выступают лотереи, а - вероятность получить лотерею Согласно аксиоме сложная лотерея может быть приведена к лотерее с подходящими вероятностями:

̴

Основная теорема теории полезности фон Неймана-Моргенштерна утверждает, что при соблюдении названных аксиом существует функция полезности, определенная на всех лотереях, и является однозначной с точностью до монотонного строгого возрастающего линейного преобразования. Так как одним из особых видов лотереи является набор, где функция полезности определена для всех наборов. При этом , если и только если . В общем виде Последнее означает, что полезность лотереи есть математическое ожидание полезности, равное взвешенной сумме полезностей наборов компонент, где в качестве весов выступают вероятности.

Функция полезности фон Неймана-Моргенштерна является однозначной с точностью до монотонного строгого возрастающего линейного преобразования в противоположность обыкновенным функциям полезности, которые являются однозначными с точностью до монотонного строгого возрастающего (линейного или нелинейного) преобразования. Таким образом, если - функция полезности, то где , также является функцией полезности. Построим такую функцию полезности. Выберем числовые значения для двух уровней полезности; полезности других наборов оценивают соответствующим взвешиванием вероятностями. Допустим и и - произвольные числа, для которых . Они характеризуют уровни полезности и соответственно. Например, . Чтобы определить полезность любого другого набора, взвесим эти значения полезностей вероятностями. Если - набор, для которого , то по аксиоме непрерывности существует вероятность для которой выполняется

̴ , (3.1.1)

поэтому

.

Первое равенство вытекает из того, что безразличные лотереи имеют одинаковые значения полезности. Второе равенство получено из определения полезности лотереи как математического ожидания ее полезности.

Допустим, обеспечивает выполнение условия (3.1.1). Тогда Аналогично, если для выполняется условие , то по аксиоме непрерывности существует вероятность для которой ̴ , поэтому , или

Таким образом, после того как выбраны два произвольных числа, полезность шкалы фон Неймана-Моргенштерна определена.

Важным следствием теоремы о математическом ожидании полезности является правило рационального поведения в процессе принятия решения в условиях риска. Допустим предприниматель, принимающий решение, должен выбрать одну из стратегий: , где исходом стратегии является лотерея

Величина характеризует вероятность выигрыша набора при заданной стратегии . Полезность лотереи оценивается как .

Принимающий решение предприниматель, чтобы максимизировать полезность, выберет стратегию, которая обеспечивает наибольшее значение ожидаемой полезности .

_{Если имеется три возможные стратегии, для каждой из которых заданы вероятности выигрыша одной из двух альтернатив , то оптимальной стратегии соответствует наибольший элемент главной диагонали следующей матрицы:}

где в качестве матрицы полезностей выступает платежная матрица, а вторая матрица состоит из вероятностей.