Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-21 | 169 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть определена на множестве и в каждой точке существуют (первые) частные производные и . Первые частные производные представляют собой новые функции двух переменных. Частные производные от функций и называются частными производными второго порядка (или вторыми частными производными) от функции .
Таким образом, имеем четыре вторых частных производных, которые обозначаются:
или
.
Частные производные второго порядка и называются смешанными частными производными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они обязательно равны.
Пример 22. Найти все частные производные второго порядка от функции .
Решение
Экстремум функции двух переменных
Локальный экстремум
Окрестностью точки называется круг, содержащий точку .
Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , в которой для любой точки выполняется неравенство
.
Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.
Необходимое условие локального экстремума формулируется следующим образом.
Если функция имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума , то
.
Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки , в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Такие точки называются стационарными.
Сформулируем достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки .
Положим .
Тогда:
1) если , то в точке функция имеет локальный экстремум, причём при - локальный максимум, при - локальный минимум;
|
2) если , то в точке нет экстремума;
3) если , то вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.
Пример 23. Функция полных издержек двух продуктовых фирм задана уравнением , где и - объёмы выпуска товаров и соответственно. Цены этих товаров на рынке равны 8 и 6. Определить максимально возможное значение прибыли.
Решение
Найдём значение прибыли от реализации товара и в объёмах и как разность между доходом от продажи и издержками .
.
Определим стационарные точки функции. Найдём частные производные:
, .
Решим систему:
Точка - стационарная точка функции.
Найдём частные производные второго порядка:
Учитывая что , а , определим: - точка максимума. Найдём максимальное значение прибыли .
Условный экстремум
Экстремум функции при условии, что и связаны уравнением , называется условным экстремумом. Уравнение называется уравнением связи.
Для решения задач на условный экстремум обычно используется метод Лагранжа.
Составим вспомогательную функцию
.
Функция называется функцией Лагранжа, а - множителем Лагранжа.
Точка условного экстремума является точкой локального экстремума функции Лагранжа, её координаты должны удовлетворять уравнениям
Пусть - любое решение этой системы и
.
Если , то функция имеет в точке условный максимум, если , то условный минимум.
Пример 24. Найти экстремум при условии .
Решение
Функция Лагранжа имеет вид .
Найдём частные производные
.
Решим систему
- «подозрительная» точка.
Наёдем частные производные
Вычислим определитель
.
В точке функция имеет условный экстремум
.
Метод наименьших квадратов
Пусть имеются данные наблюдений в точках , , , …, некоторой величины и получены соответствующие значения , , , …, .
Необходимо подобрать функцию определённого вида , чтобы она по возможности наиболее точно отражала общую зависимость измеряемой величины от параметров (координат) точек измерения .
|
При обработке данных экономической статистики наиболее распространённым является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной .
Неизвестные параметры эмпирической функции и необходимо определить так, чтобы значения функции по возможности наименее всего отклонялись от измеренных значений.
Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений функции в точках , , , …, от измеренных значений , , , …, .
Для нахождения точки минимума функции найдём частные производные этой функции по переменным и и приравняем их к нулю.
Коэффициенты и определяются из системы так называемых нормальных уравнений.
Пример 25. В результате эксперимента для пяти значений аргумента получены пять значений величины .
-2 | |||||
0,5 | 1,5 |
Методом наименьших квадратов найти функциональную зависимость между и в виде линейной функции .
Решение
Значение параметров и найдём из системы. Выполним необходимые вычисления:
Запишем систему:
Решим систему по формулам Крамера:
Значит , .
Функция имеет вид .
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!