История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-21 | 305 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вычисление площадей плоских фигур. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда площадь под кривой на численно равна определённому интегралу , то есть
.
Пример 14. Найти площадь фигуры (рис.1), ограниченной линиями , , , .
Рис. 1
Решение
Фигура заключена между графиками функций и . Площадь находим как разность площадей
.
Вычисление объёма тела вращения. Пусть - непрерывна и неотрицательна на (рис.2). Тогда тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции , имеет объём
.
Рис. 2
Пример 15. Найти объём тела (рис.3), полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями , , , .
Рис. 3
Решение
Искомый объём равен
.
Экономические приложения определённого интеграла
Пример 16. Дана функция предельных издержек
, ,
где - объём выпускаемого товара. Найти функцию издержек
и вычислить издержки в случае производства 10 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 30 рублей.
Решение
Известно, что предельные издержки есть производная от функции издержек , т.е. . Значит, функцию издержекнаходим интегрированием
.
Для заданной функции имеем
или
.
Из условия найдём . Тогда получаем,
.
При вычислим .
Пример 17. Функция изменения затрат времени на изготовление изделий имеет вид . Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до .
Решение
Если известна функция , описывающая изменение затрат времени на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где - порядковый номер изделия в партии, то среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от до , вычисляется с помощью интеграла
|
.
В нашем случае
.
Несобственные интегралы
При определении определённого интеграла предполагалось, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Однако возможны случаи, когда одно или оба этих условия не выполняются. В этом случае соответствующие интегралы называются несобственными.
Пусть функция интегрируема на каждом конечном отрезке , т.е. существует определённый интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел
.
Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что расходится.
Итак,
.
Аналогично можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом
.
Или с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования .
.
Если существуют несобственные интегралы и , то существует и несобственный интеграл , независящий от выбора промежуточной точки .
Пример 18. Найти несобственные интегралы:
а) ; б) ; в) .
Решение
а) По определению имеем
Несобственный интеграл сходится и равен .
б)
.
Интеграл сходится.
в)
.
Интеграл расходится.
Кроме несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования в литературе рассматриваются несобственные интегралы от неограниченных функций. Предлагаем изучить этот материал самостоятельно.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!