Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-12-21 | 137 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные понятия
Уравнение вида
,
где - независимая переменная;
, - неизвестная функция и её производная,
называется дифференциальным уравнением первого порядка.
В случае, когда из уравнения можно выразить , оно имеет вид
.
Уравнение называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.
Например:
, , .
Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, заданное в неявном виде , называется интегралом дифференциального уравнения.
Например, функция является решением дифференциального уравнения , так как .
Теорема Коши (о существовании и единственности решения)
Если функция и её частная производная непрерывны в некоторой области плоскости , то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию при .
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определённых условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая.
Условия, которые задают значение функции в точке , называют начальными условиями и записывают
или .
Задача нахождения решения, удовлетворяющего условию, называется задачей Коши.
Общим решением уравнения называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении .
Частным решением называется функция , полученная при определённом значении .
Уравнение , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Уравнение , где - некоторое конкретное значение постоянной , называется частным интегралом.
|
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
,
где и - непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Запишем производную в эквивалентной форме как отношение дифференциалов , тогда
.
Для отыскания решения этого уравнения необходимо разделить в нём переменные. Умножим обе части уравнения на и поделим на , полагая, что , имеем
.
Теперь левая часть уравнения содержит только переменную , а правая – только . Интегрируя обе части этого уравнения, получим
.
Таким образом, найден общий интеграл уравнения.
Пример 26. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях .
Решение
Перепишем данное уравнение в виде
.
Функция является решением уравнения. Остальные решения найдём, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его:
Так как ранее найденное решение можно получить из последнего соотношения, положив , то
- общее решение.
Из условия находим
.
Частное решение имеет вид
.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!