Частоты аллелей и частоты генотипов в поколениях родителей и их потомков

Аутосомные признаки

Рассмотрим, как наследуются аллели одного аутосомного локуса в панмиктической популяциипри отсутствии действия эволюционных факторов (мутации, миграции, отбор). Под панмиксией понимают свободное, основанное на случайном сочетании всех типов гамет, скрещивание разнополых особей и перекрестнооплодотворяемых организмов в пределах популяции или другой внутривидовой группы организмов. Панмиксия важна для моделирования генетических ситуаций, но в природе не наблюдается [2].

Когда скрещивание случайно, частота (вероятность) скрещивания определенных родительских вариантов генотипов зависит только от частот каждого генотипа в популяции и равна произведению этих частот. Для определения вероятности различных вариантов скрещивания удобно пользоваться вспомогательной таблицей.

Мужские		Женские генотипы
генотипы		AA	Aa	aa
	Частоты	x	y	z
AA	x	x2	xy	xz
Aa	y	yx	y2	yz
aa	z	zx	zy	z2

Частоты аллелей А и а в родительской популяции можно рассчитать на основе известных частот генотипов (1). Так, частота аллеля А, обозначенная как р, равна p= x + 0.5·y, частота аллеля а, обозначенная как q, равна q= z + 0.5·´y. В каждом варианте скрещивания вероятность появления различных генотипов определяется на основе правила Менделя о независимом распределении гамет. Результаты скрещивания удобно обобщить в виде табл. 5.

Таблица 5

Типы	Частоты	Частоты генотипов у потомков
скрещивания		AA	Aa	aa
AA·AA	x2	x2
AA·Aa	2xy	xy	xy
AA·aa	2xz		2xz
Aa·aa	2yz		yz	yz
Aa·Aa	y2	0.25 y2	0.5 y2	0.25 y2
aa·aa	z2			z2
Итого:	(x+y+z)2	(x+0.5 y)2	2(x+0.5y)(z+0.5y)	(z+0.5y)2

Видно, что итоговые частоты генотипов (АА, Аа и аа) в популяции потомков могут быть определены через частоты генотипов и частоты аллелей у их родителей:

АА = (x+0.5y)² = р² ;

Аа = 2(x+0.5y)(z+0.5y)= 2pq;

aa = (z+0.5y)² = q².

Сумма частот родительских генотипов равна единице:

p² + 2pq +q² = 1. (13)

При этом частоты аллелей у потомков (p₁, q₁), как показывают расчеты: p₁ = p² + 0.5·2pq = p(p + q) = p; q₁ = q² + 0.5·2pq = q(p+q) = q, не изменились.

Таким образом, при сохранении условия случайного свободного скрещивания (панмиксии) в отсутствии факторов изменчивости частоты аутосомных аллелей в ряду поколений не изменяются и популяция оказывается в состоянии равновесия (правило Харди-Вайнберга). При равенстве частот аллелей у каждого пола соответствие между частотами аллелей и частотами генотипов устанавливается в первом поколении. В случае неравенства частот аллелей у мужского и женского полов равновесные частоты появляются во втором поколении, тогда как в первом устанавливается равенство частот аллелей мужского и женского пола.

Равновесные частоты у генотипов, определяемых сочетанием ряда аллелей p, q, r, … можно определить на основе общего выражения Харди-Вайнберга:

(p + q + r +...)² = 1 (14)

Сцепленные с полом признаки

Рассмотрим случай, когда ген, определяющий признак, связан с половой хромосомой. Определение пола у диплоидных организмов основано на гетерогамии. Выявлено несколько типов половой гетерогамии. Для дрозофилы, человека и многих других организмов женский пол характеризуется наличием двух X-хромосом (ХХ), мужской X-хромосомы и Y-хромосомы (XY). Картирование половых X и Y хромосом человека выявило наличие у них гомологичных (содержат рецессивные гены, обусловливающие развитие общей цветовой слепоты, пигментной ксеродермы, болезни Огути, спастической параплегии, эпидермального буллеза) и негомологичных участков. В X-хромосоме это рецессивные для женщин гены гемофилии, дальтонизма, мышечной дистрофии, гипогаммаглобулинемии, доминантного гена гипофосфатемического рахита. В Y- хромосоме - гены, ответственные за появление перепонок между пальцами и волосатых ушей.

Признаки, связанные с гомологичнными участками половых хромосом ведут себя в популяции точно так же, как признаки, связанные с аутосомами. При изучении локусов, локализованных в негомологичном участке Х-хромосомы, необходимо учитывать неравномерное распределение аллелей между субпопуляцией самцов и субпопуляцией самок. При равном соотношении особей каждого пола две трети всех Х-хромосом находится в субпопуляции самок и только одна треть в субпопуляции самцов. В случае, когда в мужской и женской субпопуляциях частоты аллелей не одинаковы, среднюю частоту аллеля (например, А) определяют по формуле

р_ср = 2/3 р_жен + 1/3 р_муж . (15)

Рассмотрим, как ведут себя в ряду поколений частоты аллелей, локус которых находится в негомологичном участке Х-хромосомы.

Пусть в первом поколении частоты аллелей в субпопуляции самцов и самок неодинаковы и представлены следующими величинами: самцы р (А) = 0.8; q (а) = 0.2; самки р (А) = 0.4; q (а) = 0.6. Средняя частота аллеля А в популяции согласно (15) равна:

р_ср = 2/3·0.4+1/3·0.8=0.533.

Во втором поколении частоты аллелей в субпопуляции самцов будут такими же, как частоты аллелей в субпопуляции самок первого поколения, так как они, будучи их матерями, передали им свои Х-хромосомы: р(А) = 0.4, q(а) = 0.6. Этим важным свойством определяется изменение частот и в последующих поколениях. Частоты аллелей в субпопуляции самок второго поколения можно рассчитать из частот генотипов самцов и самок первого поколения. Принимая условие свободного скрещивания, получаем:

р (А) = 0.8·0.4+0.5 (0.8·0.6+0.2·0.4)=0.6; q (а) = 1- 0.6 = 0.4

р_ср. = 2/3·0.6+1/3·0.4=0.533

В третьем поколении частоты аллелей в субпопуляции самцов будут равны: р(А) = 0.6, q(а) = 0.4. У самок: р(А) = 0.4·0.6+0.5(0.4·0.4+0.6·0.6) = 0.5; q(а) = 1-0.5 = 0.5

р_ср. = 2/3·0.5+1/3·0.6=0.533.

Сопоставление частот аллелей в трех последовательных поколениях позволяет сделать следующие заключения: 1 - средние значения частот аллелей остаются постоянными; 2 - различия частот одноименных аллелей между самцами и самками в поколении потомков в два раза меньше, чем в поколении родителей; 3 - частоты аллелей периодически меняют свои значения относительно средней частоты р_ср, постепенно приближаясь к ней.

 

Рис.3. Динамика частоты аллеля р(А) для локуса, связанного с Х‑хромосомой в субпопуляциях самцов и самок

На рис.3 дана динамика частот из рассмотренного выше примера на протяжении шести поколений. Хотя абсолютного совпадения частот аллелей в субпопуляциях самцов и самок быть не может, всегда существует поколение, в котором различия становятся статистически неотличимыми как друг от друга, так и от среднего значения частоты аллеля. В этом случае равновесные частоты генотипов можно представить следующим образом:

Самцы: А(-) - р_ср; а(-) - q_ср (16)

Самки: АА - р²_ср; Аа - 2р_срq_ср; аа - q²_ср (16’)

Полифакториальные генотипы

Анализ частот полифакториальных генотиповнеобходим при изучении полигибридного скрещивания, а также наследования многих количественных признаков (например, роста и массы тела).

Все частоты аллелей в аутосомных локусах, когда их рассматривают независимо от частот аллелей в других локусах, достигают равновесия в первом поколении, если оно возникло при соблюдении условий случайного скрещивания. Одновременно устанавливается равновесие и по частотам соответствующих генотипов. Однако, частоты полифакториальных генотипов в определенных случаях достигают равновесия только после смены нескольких поколений.

Равновесные частоты полифакториальных генотипов могут быть определены на основе известных частот аллелей по каждому входящему в его состав локусу:

(a₁+a₂+...+a_n)²· (b₁+b₂+...+b_n)²·...· (k₁+k₂+...+k_n)² = 1, (17)

где (a₁, a₂...a_n), (b₁, b₂,...b_n), (k_1,+k_2,+...+k_n) - частоты аллелей локусов А, В и К соответственно.

Рассмотрим пример наследования бифакториальных генотипов в панмиктической популяции. Для простоты предположим, что в каждом локусе встречаются по два аллеля с соответствующими частотами р(А), q(а), r(В), s(b). Частоты монофакториальных генотипов при равновесии в соответствии с законом Харди-Вайнберга равны: р²(AA), 2рq(Aa), q²(aa) для локуса А и r²(BB), 2rs(Bb), s² (bb) для локуса В. Частоты девяти бифакториальных генотипов, согласно (17), равны: р²r² (ААВВ), р²2rs(ААВb), р²s²(Aabb), r²(AaBB), 2рq2rs(AaBb), 2рq s²(Aabb), q² r²(aaBB), q²2rs(aaBb), q² s²(aabb).

При дигибридном скрещивании образуется четыре типа гамет (AB), (Ab), (aB), (ab). Если обозначить частоты гамет как h(AB), i(Ab), j(aB) и k(ab), то при случайном сочетании аллелей должны выполняться следующие равенства:

h = pr, i = ps, j = qr, k = qs. (18)

В этом случае произведения частот гамет (АB)·(аb) и (Ab)·(aB) равны друг другу: hk = ij, так как оба определяются величиной pqrs. Указанное равенство отражает согласованное, по определению Ю.А. Филипченко, конкордантное соотношение частот гамет.

Принято считать, что гаметы (АВ) и (аb) находятся в состоянии притяжения, а гаметы (Аb) и (аВ) в состоянии отталкивания. В отсутствие равновесия hk ¹ ij,и мерой неравновесности служит величина d, равная

(19)

Рассмотрим популяцию, содержащую в исходном поколении только гетерозиготы АаВb. Они образуют все четыре типа гамет, частоты которых при отсутствии сцепления одинаковы и составляют 0.25. Величина d = 0. В результате случайного объединения гамет возникнет 9 генотипов со следующими частотами: 1/16 у генотипов ААВВ, ААbb, ааВВ, ааbb; 1.8 у (ААВb), (АаВВ), (ААbb),(ааВb), и 1.4 у (АаВb). В следующем поколении гаметы будут воспроизведены с равной вероятностью, и их частоты вновь составят 0.25, а их случайное объединение даст те же частоты генотипов. Следовательно, в этом случае равновесные частоты генотипов достигаются в первом поколении, возникшем в результате случайного скрещивания.

Другая ситуация возникает, когда популяция представлена особями с генотипами (ААВВ) и (ааbb) в соотношении 1:1. Они образуют только два вида гамет - АВ и аb с частотами 0.5 и 0.5. Величина d = 0.25 имеет максимальное значение. При случайном сочетании гамет во втором поколении возникнет только три варианта генотипов с частотами - ААВВ (0.25), АаВb (0.5), ааbb (0.25). Фонд гамет в этом поколении представлен следующими частотами: 3/8 АВ, 1/8 Аb, 1/8 аВ и 3/8 аb. Величина d = 0.125. В третьем поколении появляются все девять вариантов генотипов, образующих гаметы с частотами: 5/16 АВ, 3/16 Аb, 3/16 аВ, 5/16 аb. Величина d = 0.0625. Таким образом, от поколения к поколению увеличиваются частоты первоначально отсутствовавших гамет Аb и аВ и пропорционально снижается частота гамет АВ и аb. Величина d в каждом последующем поколении уменьшается в 2 раза. Поколение, в котором величина d_n не будет достоверно отличаться от нуля, можно считать равновесным.

Уменьшение величины d в 2 раза в каждом следующем поколении справедливо только для несцепленных локусов, когда частота рекомбинации с максимальна и равна 0.5. Для сцепленных локусов частота рекомбинации с < 0.5, и приближение к равновесию происходит медленнее.

С учетом сказанного, общий вид выражения для определения значения d в i +1 поколенииимеет вид

(20)

Можно также определить, какой будет величина d в поколении n, если в исходном поколении она составила d₀:

(21)

Поскольку эффект сцепления лишь замедляет наступление равновесия, при котором произведения частот гамет в фазе притяжения и в фазе отталкивания одинаковы, в состоянии равновесия практически невозможно обнаружить сцепленные локусы на основе анализа частот полифакториальных генотипов.

Заметим, что исходные условия, при которых в популяции присутствовали только гаметы в фазе притяжения, выбраны произвольно. Для общего случая, когда требуется оценка равновесности популяции, удобно использовать алгоритм, основанный на заполнении матрицы частот бифакториальных генотипов [3]:

; Z = ,

где z_ij - частоты генотипов, записанных в левой матрице.

Частоты генотипов по локусу А находят, суммируя частоты генотипов по строкам:

р(АА) = z₁₁ + z ₁₂ + z ₁₃,

p(Aa) = z₂₁ + z₂₂ + z₂₃,

p(aa) = z₁₃ + z₃₂ + z₃₃.

Суммируя частоты генотипов по столбцам, находят соответствующие частоты генотипов по локусу B - p(BB), p(Bb), p(bb). На основании полученных частот монофакториальных генотипов по уравнению (1) можно определить частоты каждого из четырех аллелей ‑ p, q, r, s. В панмиктической популяции, не подверженной действию эволюционных факторов, частоты не изменяются, и равновесные частоты бифакториальных генотипов находят по уравнению (17).

Частоты гамет в дигибридной неравновесной панмиктической популяции, обозначенные выше как h, i, j, k, можно рассчитать по следующим выражениям:

h = z₁₁ + 0.5(z ₁₂+ z₂₁) + 0.25 z₂₂;

i = z ₁₃ + 0.5(z ₁₂ + z₂₃) + 0.25 z₂₂;

j = z₁₃ + 0.5(z₂₁ + z₃₂) + 0.25 z₂₂;

k = z₃₃ + 0.5(z₃₂ + z₂₃) + 0.25 z₂₂.

Далее по уравнению (19) определяют величину d, характеризующую неравновесность популяции.

Постоянная, наблюдаемая на протяжении многих поколений неравновесность по сцеплению может быть результатом естественного отбора, если одни комбинации аллелей обеспечивают более высокую приспособленность, чем другие. Приближение к равновесию частот полифакториальных генотипов зависит от эффективности рекомбинации, поэтому, чем меньше сцеплены два локуса, тем более интенсивным должен быть отбор, необходимый для поддержания популяции в неравновесном состоянии.

Следует заметить, что сама по себе величина d не позволяет определить близость данного поколения к состоянию равновесия. Так, если бы в рассмотренном выше примере генотипы ААВВ и ааbb в первом поколении были представлены частотами 0.9 и 0.1, величина d₀ = 0.09, что заметно меньше ее максимального значения 0.25. Расчет этого показателя производят для оценки “движения” популяции в сторону равновесия.

Рассмотренная модель, в которой генотип определяли два локуса по два аллеля в каждом, является самой простой. Применение для группировки гамет таких определений, как гаметы в состоянии отталкивания (Ab, aB) или в состоянии притяжения (АВ, ab), необходимо лишь для того, чтобы произведение частот гамет в каждой паре включало частоты каждой аллели.

При анализе частот полифакториальных генотипов, построенных на полиаллельных локусах, возникают трудности группировки гамет в пары для получения полного произведения частот аллелей. В случае, когда генотип определяют три локуса по два аллеля каждый, в состоянии “притяжения” находится только одна пара гамет (ABC и abc), в остальных трех парах гаметы “притягиваются” (ABc-abC, AbC-aBc, Abc-aBC). Поскольку произведение частот гамет в каждой паре дает полное произведение аллелей, состояние равновесия характеризуется следующим выражением:

[(ABC) ·(abc)]³=(Abc) ·(abC) ·(AbC) ·(aBc) ·(Abc) · (aBC).

Общее выражение для полифакториального генотипа при условии, что каждый локус представлен двумя аллелями, имеет вид:

(22)

Максимальная величина d₀ для полифакториальных генотипов, как и для бифакториального генотипа, равна 0.25.

Получить аналогичное выражение, характеризующее равновесие популяции, для случая, при котором число аллелей в первом и во втором локусе различно (например, А1 и А2 в первом локусе и В1, В2, В3 – во втором), невозможно. Если число аллелей в первом и втором локусах одинаково, выражение может быть получено, но при этом теряют смысл такие признаки гамет, как состояние отталкивания и состояние притяжения. Рассмотрим вариант с двумя локусами по три аллеля в каждом. Девять вариантов гамет (a1b1, a1b2, a1b3, a2b1, a2b2, a2b3, a3b1, a3b2, a3b3) можно сгруппировать в три произведения, которые должны быть равны при равновесии популяции:

(a1b1) ·(a2b2) ·(a3b3)=(a1b2) ·(a2b3) · (a3b1)=(a1b3) ·(a2b1) · (a3b2).

По-видимому, первую группу сомножителей, включающую гаметы с одинаковыми индексами аллелей, выделить легче. Тогда для состояния равновесия можно записать

[(a1b1)·(a2b2)·(a3b3)]²=(a1b2)·(a2b3)·(a3b1)·(a1b3)·(a2b1)·(a3b2).

Для произвольного количества аллелей в локусах бифакториального генотипа это выражение принимает вид:

(23)

Максимальное значение d₀ =(1/n)ⁿ.

Следует заметить, что в этих выражениях нет поправки на коэффициент рекомбинации, о которой упоминалось выше. Важно то, что в большинстве случаев существует количественный критерий равновесного состояния популяции.

В завершение этого раздела можно еще раз подчеркнуть, что независимо от расположения локуса в половых хромосомах или аутосомах, а также от наличия групп сцепления, частоты генотипов у популяции, имеющей неограниченную численность и свободу для скрещиваний, достигают равновесия и остаются постоянными на протяжении многих поколений. Равновесные частоты генотипов могут быть выражены через равновесные частоты аллелей. Вид этого соотношения может быть получен на основе закона Харди-Вайнберга.