Непрерывные случайные величины

а) Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Найти интегральную функцию распределения, вычислить числовые характеристики и построить графики функции распределения и плотности распределения.

б) Непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Найти плотность распределения, вычислить числовые характеристики и построить графики функции распределения и плотности распределения.

7.1.
а)	б)

 

7.2.
а)	б)
7.3.
а)	б)
7.4.
а)	б)
7.5.
а)	б)
7.6.
а)	б)
7.7.
а)	б)

 

 

7.8.
а)	б)
7.9.
а)	б)
7.10.
а)	б)
7.11.
а)	б)
7.12.
а)	б)
7.13.
а)	б)
7.14.
а)	б)

 

 

7.15.
а)	б)
7.16.
а)	б)
7.17.
а)	б)
7.18.
а)	б)
7.19.
а)	б)
7.20.
а)	б)

 

7.21.
а)	б)
7.22.
а)	б)
7.23.
а)	б)
7.24.
а)	б)
7.25.
а)	б)
7.26.
а)	б)

 

7.27.
а)	б)
7.28.
а)	б)
7.29.
а)	б)
7.30.
а)	б)

 

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

 

1. Размер диаметра детали задан полем допуска 20-25 мм. В некоторой партии деталей средний размер их диаметра оказался равным 23,2 мм, а среднее квадратическое отклонение 1 мм. Считая, что размер диаметра детали подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака.

2. Размер гайки задан полем допуска 60-65 мм. В некоторой партии гаек средний размер оказался равным 62,8 мм, а среднее квадратическое отклонение – 1,1 мм. Считая, что размер гайки подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака по размеру гайки.

3. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 16 мм и дисперсией 0,16. Найти вероятность брака при условии, что для диаметра подшипника принимается допуск - 0,7 мм.

4. Цех выпускает детали двух типов. Распределение их длины - нормальное. Для деталей 1-го типа математическое ожидание равно 40 мм, а дисперсия- 0,25. Для типа 2-го - математическое ожидание 25 мм, дисперсия - 4. Что вероятнее - попадание размера детали 1-го типа в интервал [38;43] или детали 2-го типа в интервал [24;27]?

5. Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Дисперсия ее равна 4, а математическое ожидание- 20,5 мм. Найти вероятность брака, если допустимые размеры диаметра детали должны быть 20 3 мм.

6. На автомате изготавливают заклепки, диаметр головок которых распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием 3 мм и дисперсией 0,01. Какую точность диаметра головок заклепок можно гарантировать с вероятностью 0,9216?

7. Детали, изготовленные автоматом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону. Известно, что математическое ожидание равно 4,5, а дисперсия – 0,09. Определить границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, если вероятность невыхода за эти границы равна 0,95.

8. Длина изготовляемой детали представляет нормально распределенную величину Х. Математическое ожидание ее равно 8 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,1 см. Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 0,2 см.

9. Станок – автомат производит валики. Пригодность валика определяется величиной его диаметра Х. Определить вероятность того, что взятый наугад валик окажется годным, если известно, что среднее значение, на которое настроен станок, равно 25 мм, среднее квадратическое отклонение составляет 0,4 мм, а допустимая величина отклонения размера диаметра валика от среднего - равна 0,6 мм.

10. Ведется стрельба из орудия по заданному направлению. Дальность полета снаряда распределена по нормальному закону, математическое ожидание равно 3 км, среднее квадратическое отклонение – 0,5 км. Найти вероятность того, что выпущенный снаряд из орудия попадает в интервал от 2 до 5 км.

11. Производится измерение длин втулок, причем без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 12 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

12. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание - 20 км, среднее квадратическое отклонение – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 19,8 км.

13. Диаметр стальных орудий, выпускаемых цехом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 75 мм и средним квадратическим отклонением 0,3 мм. Найти вероятность брака по размеру диаметра, если допустимые размеры диаметра стержня составляют 75 0,5 мм.

14. Продолжительность горения электроламп в некоторой партии оказалось нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 1200 ч и средним квадратическим отклонением 50 ч. Найти с вероятностью 0,95 границы продолжительности горения наугад взятой электролампы.

15. Имеется партия доброкачественных втулок без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 12 мм.

16. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с математическим ожиданием – 20 км, средним квадратическим отклонением – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 20,1 км.

17. При обследовании работы автоматической линии оказалось, что длина выпускаемой детали является нормально распределенной случайной величиной, математическое ожидание которой равно 30 см, среднее квадратическое отклонение - 0,5 см. Для стандартной детали отклонение длины от 30 см не должно превышать 0,8 см. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь не будет удовлетворять этим требованиям.

18. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, математическое ожидание – 2,5 см. В каких границах с вероятностью 0,98 можно гарантировать размер диаметра детали?

19. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с параметрами: математическое ожидание равно 172 см, а среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Определить процент лиц, рост которых ниже 165 см.

20. Какова вероятность того, что наугад опрошенный инженер получает зарплату от 150 до 190 руб., если известно, что зарплата распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 150 руб. и средним квадратическим отклонением 30 руб.

21. Завод изготавливает шарики для подшипников. Диаметр шарика является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 20 см и средним квадратическим отклонением 2 см. В каких границах с вероятностью 0,9216 можно гарантировать размер диаметра шарика?

22. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание – 20 км, среднее квадратическое отклонение – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами на менее 20,3 км, но не более 20,75 км.

23. Рост взрослого мужчины представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средний рост равен 170см, а среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Найти вероятность того, что рост случайно выбранного мужчины находится в границах от 182 до 191 см.

24. Завод изготовляет шарики для подшипников. Диаметр шарика – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 5 мм и средним квадратическим отклонением 0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от среднего больше, чем на 0,1 мм. Определить какой процент шариков в среднем будет отбраковываться?

25. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром 30 мм, но проходит через отверстие диаметром 45 мм, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из условий не выполняется, то шарик бракуется. Диаметр шарика есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 37,5 и средним квадратическим отклонением 3,75. Найти вероятность того, что шарик будет забракован.

26. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с математическим ожиданием 172 см, средним квадратическим отклонением 6 см. Определить процент лиц, рост которых выше 175 см.

27. Диаметр шарика подшипника является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Размер диаметра задан полем допуска 40-45 мм. Средний размер шарика равен 42,5 мм. Брак составляет 10% от всего выпуска. Найти среднее квадратичное отклонение диаметра шарика.

28. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами =375г., =25г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет больше 300г.

29. Станок автоматически изготавливает валики, контролируя их диаметры . Считая, что случайная величина распределена нормально с параметрами =10мм, =0,1мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут диаметры изготовленных валиков.

30. При изготовлении некоторого изделия его вес подвержен случайным колебаниям. Стандартный вес изделия равен 30г, его среднее квадратическое отклонение равно 0,7, а случайная величина распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия находится в пределах от 28 до 31г.

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Таблица значений функции

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9   1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9   2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9   3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,3989   0,2420   0,0540   0,0044

2. Таблица значений функции

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44	0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700	0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92	0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212	0,96 0, 97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40	0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3721 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192	1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88	0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699