Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят 1-й вызов, равна 0,2; 2-й вызов – 0,3; 3-й – 0,4. События, состоящие в том, что любой вызов будет услышан, независимы. Найти: а) вероятность того, что корреспондент услышит вызов; б) вероятность того, что будет услышан только один вызов.

2. Стрелок стреляет три раза по удаляющейся от него мишени. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность попадания в мишень: а) хотя бы один раз; б) два раза.

3. Три стрелка стреляют в одну мишень: при этом известно, что вероятность попадания с одного выстрела равна: 0,8 ― у 1-го стрелка, 0,7 ― у 2-го стрелка, 0,6 ― у 3-го стрелка. Найти вероятность того, что в результате одновременного выстрела всех стрелков в мишени появится: а) только одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина.

4. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка – 0,9; для 2-го – 0,8; для 3-го – 0,7. Найти вероятность того, что за один час потребует вмешательства рабочего: а) лишь один станок; б) хотя бы один станок.

5. Вероятность поражения цели 1-м стрелком при одном выстреле равна 0,8; 2-м – 0,7. Найти: а) вероятность того, что цель при залпе будет поражена только одним стрелком; б) вероятность того, что цель будет поражена, если для этого достаточно хотя бы одного попадания при залпе.

6. Производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при первом выстреле равна 0,8. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0,1. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено: а) 4 выстрела; б) не более 3 выстрелов.

7. По железнодорожному мосту, независимо один от другого, производят серийное бомбометание 3 самолета. Каждый самолет сбрасывает серию бомб. Вероятность попадания в результате серийного бомбометания для первого самолета равна 0,2; для второго – 0,3; для третьего – 0,4. Найти: а) вероятность того, что мост будет разрушен; б) вероятность того, что мост будет разрушен только одним самолетом.

8. Ожидается прибытие трех судов с апельсинами. Статистика показывает, что в 2% случаев груз портится в дороге. Найти вероятность того, что с испорченным грузом придут: а) только одно судно; б) хотя бы одно судно.

9. Вероятность того, что за 5 мин к остановке подойдет автобус, равна 0,4; вероятность подхода к остановке за эти же 5 мин трамвая равна 0,3. Остановки совмещены. Найти вероятность того, что: а) пассажир уедет с этой остановки за отмеченные 5 мин; б) к остановке подойдет только один вид транспорта.

10. Вероятность того, что при первом измерении физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,2; при втором измерении ― 0,3; при третьем измерении ― 0,4. Найти вероятность того, что: а) только в одном из них допущена ошибка, превышающая заданную точность; б) хотя бы в одном измерении будет ошибка.

11. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3 справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м справочнике, равна 0,6; во 2-м ― 0,7; в 3-м ― 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) хотя бы в одном справочнике.

12. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Определить: а) вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей; б) вероятность того, что придут только двое из трех друзей.

13. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 4 карты масти «пики». Рассмотреть два случая: а) карты не возвращаются; б) карты возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением.

14. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 2 туза. Рассмотреть два случая: а) первая карта не возвращается; б) первая карта возвращается.

15. Семена высшего сорта всходят с вероятностью 0,8; 1-го сорта ― с вероятностью 0,75; 2-го сорта ― с вероятностью 0,7. Определить вероятность того, что из трех посаженных семян разного сорта взойдет: а) только одно; б) хотя бы одно из семян.

16. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,7. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0,05. Найти вероятность того, что стрелок попадет: а) хотя бы одним выстрелом; б) только один раз.

17. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,8; при втором ― 0,75; при третьем ― 0,6. Найти вероятность поражения цели: а) всеми тремя выстрелами; б) хотя бы двумя выстрелами.

18. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся стандартными; б) только одна деталь будет стандартной.

19. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; для второго ― 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.

20. На испытательном стенде испытывали в определенных условиях 2 прибора. Вероятность того, что в течение часа откажет первый прибор, равна 0,04; для второго ― 0,03. Найти вероятность того, что в течение часа откажет: а) хотя бы один из приборов; б) только один прибор.

21. Из партии товаровед наугад отбирает 3 изделия. Вероятность того, что первое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8; для второго изделия ― 0,85; для третьего ― 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет: а) только 2 изделия высшего сорта; б) хотя бы одно изделие высшего сорта.

22. Три исследователя, независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что 1-й исследователь допустит ошибку при считывании показателей прибора, равна 0,1. Для 2-го и 3-го исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении: а) хотя бы один из исследователей допустит ошибку; б) только один исследователь ошибется.

23. Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания в танк при одном выстреле для первого орудия ― 0,5; для второго – 0,4. Найти вероятность того, что при залпе: а) попадут оба орудия; б) будет хотя бы одно попадание в цель.

24. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3 справочниках. Вероятность того, что формула содержится в I-м, во 2-м, в 3-м справочниках соответственно равна 0,65; 0,7; 0,75. Найти вероятность того, что формула содержится: а) во всех 3 справочниках; б) хотя бы в 2 справочниках.

25. В 1-ом ящике находятся 14 изделий, из них 6 с браком; во 2-ом ящике — 20 изделий, из них 4 с браком; в 3-ем ящике ― 15 изделий, из них 3 с браком. Из каждого ящика наугад вынимают по одному изделию. Найти вероятность того, что: а) хотя бы одно изделие без брака; б) только 2 изделия без брака.

26. Из 11 карточек, на каждой из которых написано по одной букве слова «ВЕРОЯТНОСТЬ», выбирают наугад 3 карточки одну за другой. Найти вероятность того, что получится последовательность букв, образующая слово «ТОН». Рассмотреть два случая: а) выбранные карточки не возвращаются; б) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед каждым следующим их извлечением.

27. Буквы русского алфавита (их 32) написаны на карточках разрезной азбуки. Выбираются наугад одна за другой пять карточек. Найти вероятность того, что получится слово «конец», если: а) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением; б) выбранные карточки не возвращаются.

28. Слово «папаха» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами тщательно перемешиваются и из них извлекаются по очереди 4 карточки. Какова вероятность получить слово «папа», если: а) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением; б) выбранные карточки не возвращаются.

29. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1,2,3, если кубики извлекают: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченные кубики возвращают в мешок и перемешиваются).

30. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что первое изделие нестандартно, равна 0,1. Для каждого следующего изделия эта вероятность увеличивается на 0,05. Найти вероятность того, что: а) из 3 проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

 

4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

1. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 98% годных деталей, второй – 99%, а третий – 97%. Производительность автоматов одинакова. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если она выбрана случайным образом.

2. В первом ящике имеются 15 стандартных и 2 с браком радиолампы; во втором — 10 стандартных и одна с браком. Из первого ящика взята наугад одна лампа и переложена во второй. После чего из второго ящика взята наугад лампа. Найти вероятность того, что эта лампа стандартная.

3. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 60 штук из первого цеха, а из второго и третьего цехов соответственно в 2 и 4 раза больше, чем из первого. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, второго – 20%, а третьего – 25%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка окажется без дефектов.

4. В первом ящике 120 радиоламп, из них 10 с браком, во втором ящике 50 радиоламп, из них 5 бракованных. Из первого ящика переложили во второй одну лампу. Какова вероятность того, что взятая из второго ящика радиолампа не имеет брака?

5. На перекрестке 4 телефона-автомата. Вероятность того, что первый из них не занят, равна 0,4; второй не занят – 0,3; третий не занят – 0,2 и четвертый не занят – 0,1. Вероятности того, что до абонента можно дозвониться по каждому телефону, соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6 и 0,9. Какова вероятность того, что разговор с абонентом состоится?

6. В вычислительной лаборатории 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность выхода из строя автомата равна 0,05; для полуавтомата – 0,2. Найти вероятность того, что студенту удастся выполнить расчет, производя вычисления на случайно выбранной машине.

7. С первого автомата на сборку поступает 40%, со второго – 30%, с третьего – 20%, а с четвертого – 10% деталей. Среди деталей первого автомата 0,1% бракованных, второго – 0,2%, третьего – 0,25%, четвертого – 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.

8. Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем – типа В и двум – типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, типа В – 0,1, типа С – 0,15. Найти вероятность поражения мишени при одном выстреле, если не известно, в мишень какого типа он будет сделан.

9. Из трамвайного парка в случайном порядке выходят четыре трамвая маршрута №1 и восемь трамваев маршрута №2. Найти вероятность того, что второй по порядку вышедший на линию трамвай будет иметь №1.

10. В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом №1 и 10 деталей – заводом №2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одна за другой. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная заводом №1.

11. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

12. На трех дочерей – Надю, Таню и Нину – в семье возложена обязанность мыть тарелки. Надя выполняет 40% всей работы. Остальные 60% Таня и Нина делят поровну. Когда Надя моет посуду, вероятность для нее разбить, по крайней мере, одну тарелку равна 0,06, для Тани – 0,08, для Нины – 0,4. Какова вероятность того, что после мытья посуды не досчитаются тарелок?

13. Человек, работая в Ростове, может возвращаться домой, в Новочеркасск, либо автобусом, либо электричкой. В 1/3 случаев он выбирает автобус, а в 2/3 – электричку. Если он едет автобусом, то в 75% случаев возвращается домой к 6 ч вечера, если же электричкой, то только в 70% случаев он возвращается к 6 ч. Какова вероятность того, что в наудачу взятый день, он вернется домой к 6 ч?

14. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

15. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен: 3 студента подготовлены отлично, 4 студента – хорошо, 2 студента – посредственно, 1 студент – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы. Хорошо подготовленный – на 16, посредственно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на произвольно заданный вопрос.

16. Из ящика, содержащего 5 белых и 3 черных шара, переложено 2 шара в ящик, содержащий 4 белых и 6 черных шаров. Вычислить вероятность события: достать белый шар из второго ящика.

17. В пирамиде установлено 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет выстрел из винтовки, взятой наудачу.

18. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка №1 составляет 0,03, а для станка №2 – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей со станка №1 сходит вдвое больше, чем со станка №2. Вычислить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной.

19. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке — 10 ламп, из них 9 стандартных. Из первой коробки наудачу взята лампа и переложена во вторую. Затем из второй коробки наудачу взяли одну лампу. Найти вероятность того, что она будет стандартной.

20. Имеется две партии одинаковых изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

21. На сборке три ящика с радиолампами. В первом ― 15 стандартных и 5 с браком, во втором ― 10 стандартных и 2 с браком, в третьем ― 20 и 5 соответственно. Вытащенная наугад лампа оказалась с браком. Какова вероятность того, что она взята из третьего ящика?

22. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое меньше второго. Вероятность изготовить бракованную деталь на первом автомате равна 0,06, а на втором – 0,09. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена первым автоматом?

23. Три контролера проверяют стандартность однотипных деталей. Один из них успевает проверить вдвое больше, чем остальные (поровну) вместе. Вероятности допустить ошибку у них соответственно равны 0,05; 0,1 и 0,2. Пропущенная одним из них деталь оказалась с браком. Какова вероятность того, что ее пропустил первый контролер?

24. В больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием М, 20% - с заболеванием Н. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; М – 0,8; Н – 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

25. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефектов. Какова вероятность того, она поступила из первого цеха?

26. При передаче сообщения сигналом «точка» и «тире» эти сигналы встречаются в отношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются 25% сообщений «точка» и третья часть сообщений «тире». Оказалось, что произвольно принятый сигнал не искажен. Какова вероятность, что этим сигналом является «точка»?

27. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Наудачу извлеченная сборщиком деталь из коробки, взятой наугад, оказалась стандартной. Найти вероятность того, что извлеченная деталь изготовлена заводом №1.

28. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, равна для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Выбранная наудачу лампа проработала заданное число часов. Определить вероятность того, что эта лампа из второй партии.

29. Для участия в студенческих соревнованиях выделено из первой группы ― 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

30. Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, - с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту.