Основные непрерывные распределения.

Равномерное распределение.

Определение 1. СВ X распределена равномерно на отрезке [ a, b ], (X ~ R (а, b)), если (см. рис. 1)

f (x)=

{

b - a 0

,,

x [ a, b ], x [a, b ].

Рисунок 1 Рисунок 2.

Замечание 1. Нетрудно убедиться в том, что функция распределения имеем вид (см. рис. 2)

F (x)

Δ =

x ∫ -∞

f (x) d x =

{

0 x - a b - a 1

, x < a,, a ≤ x ≤ b,, x > b.

Замечание 2. Характеристическая функция СВ X ~ R (а, b):

g (t)

Δ =

M[ eitx ]=

+∞ ∫ -∞

eitxf (x) d x =

1 b-a

b ∫ a

eitx d x =

eitb-eita it (b - a)

.

Замечание 3. МО и дисперсия по определению равны

mx

Δ =

ν 1 =

+∞ ∫ -∞

xf (x) d x =

b ∫ a

x b-a

d x =

b 2- a 2 2(b - a)

=

a+b

,

 

ν 2

Δ =

+∞ ∫ -∞

x 2 f (x) d x =

b-a

b ∫ a

x 2 d x =

b 3- a 3 3(b-a)

=

b 2+ ba+a 2

,

 

dx

Δ =

μ 2

6)mx =

ν 2 - mx 2 =

b 2+ ba+a 2

-

a 2+2 ba+b 2

=

(b-a)2

.

Замечание 4. Линейное преобразование

Y

Δ =

X-a b-a

переводит СВ X ~ R (a, b) в СВ Y ~ R (0,1). Действительно,

FY (x)

Δ =

P{ Y ≤ y } = P{ X ≤ (b - a) y + a }

Зам.1 =

{

0, y, 1,

y < 0, 0 ≤ y ≤ 1, y > 1.

Замечание 5. Равномерное распределение является непрерывным аналогом дискретного распределения вероятностей для опытов с равновероятными исходами.

Замечание 6. Погрешность приближенных вычислений каких-либо параметров при округлении до ближайших целых чисел удовлетворительно описывается распределением R (-1/2, 1/2).

Замечание 7. Если СВ Y имеет непрерывную строго возрастающую функцию распределения F_Y (y), то можно показать, что СВ

X

Δ =

FY (Y)

имеет распределение R (0,1). Действительно, в этом случае функция x = F_Y (y) будет иметь взаимно обратную функцию y = F_Y ^-1(x). Поэтому для всех x [0,1] получаем

Fx (x)

Δ =

P{ FY (Y) ≤ x } = P{ Y ≤ FY -1(x)} = FY (FY -1(x)) = x.

Кроме того F_x (x) = 0, если x < 0, и F_x (x) = 1, если x > 1. Таким образом, СВ

Y

Δ =

FY -1(X)

будет иметь требуемую функцию распределения F_Y (y), если X ~ R (0,1). Данный результат, верный и в более общем случае, когда функция распределения лишь непрерывна, используется для моделирования СВ с произвольно заданным законом распределения.

Нормальное распределение.

Определение 1. СВ X имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами m и σ > 0 (X ~ N (m, s)), если (см. рис. 5)

f (x) =

√2 πσ

exp

{

-

(x-m)2 2 σ 2

}

.

При этом СВ называется нормальной (гауссовской).

Рисунок 5.

Замечание 1. Графики плотности нормального распределения, называемые кривыми Гаусса, имеют единственный максимум в точке x = m. Найдём функцию распределения СВ X ~ N (m, σ):

F (x)

Δ =

x ∫ -∞

f (x) d x =

1 σ √2 π

x ∫ -∞

exp

{

-

(x-m)2 2 σ 2

}

d x =

 

=

|

y

Δ =

x-m σ

,

d y =

1 σ

d x

|

=

 

=

1 √2 π

(x-m)/ σ ∫ -∞

e-y

2

/2 d y = Φ

[

x-m σ

]

.

Здесь введено обозначение

Φ(y)

Δ =

1 √2 π

y ∫ -∞

e-y

2

/2 d y

для функции распределения стандартной нормальной СВ X ~ N (0,1), называемой также функцией Лапласа (см. рис. 6). Вместо Φ(y) в справочниках встречается также интеграл вероятностей:

Φ0(y)

Δ =

1 √2 π

y ∫ 0

e-x

2

/2 d x,

при y > 0.

Легко убедится в том, что Φ₀(- y) = -Φ₀(y).

Рисунок 6.

Замечание 2. Характеристическая функция СВ X ~ N (0,1) имеет вид

g (t)= e-t

2

/2.

Действительно,

g (t) =

1 √2 π

+∞ ∫ -∞

e-x

2

/2 eitx d x =

|

формула Эйлера

|

=

 

=

1 √2 π

+∞ ∫ -∞

e-x

2

/2cos tx d x +

i √2 π

+∞ ∫ -∞

e-x

2

/2sin tx d x =

 

=

|

sin tx - нечетная,

e-x

2

/2 - четная, пределы симметр.

|

=

 

=

1 √2 π

+∞ ∫ -∞

e-x

2

/2cos tx d x;

 

g '(t) = -

1 √2 π

+∞ ∫ -∞

xe-x

2

/2sin tx d x =

|

интегрирование по частям

|

=

 

=

1 √2 π

[

e-x

2

/2sin tx

|

+∞ -∞

-

+∞ ∫ -∞

e-x

2

/2cos tx d x

]

= - t g (t),

Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными при начальном условии g (0) = 1, находим ln g (t) = - t ²/2. Рассмотрим СВ X ~ N (m, σ). Тогда нормированная СВ

* X

Δ =

X-m σ

имеет нормальное распределение N (0,1) и, следовательно, характеристическую функцию

g (t)= e-t

2

/2.

Далее, согласно свойству 4)g(t) для СВ

X

Δ = σ

* X

+ m

имеем

gx (t) = eitmg

* X

(σt) = exp(itm - t 2 σ 2 / 2).

Замечание 3. МО и дисперсия СВ X ~ N (m, σ) равны

ν 1 =

1 i

d d t

g (t)

|

t =0

=

(im - tσ 2) i

= exp(imt - t 2 σ 2/2)

|

t =0

= m,

 

ν 2 =

1 i 2

d2 d t 2

g (t)

|

t =0

=

1 i 2

[

- σ 2exp(imt - t 2 σ 2/2) +

 

+ (im - tσ 2)2exp(imt - t 2 σ 2/2)

]

t =0

= -

σ 2+ m 2 i 2

= σ 2+ m 2,

 

dx

6)mx =

ν 2 - ν 12 = σ 2.

Замечание 4. С помощью линейного преобразования

* X

Δ =

X-m σ

нормальное распределение N (m, σ) переходит в стандартное нормальное N (0,1), для которого функция распределения совпадает с функцией Лапласа, т.е.

F

* X

(x) = Φ(x).

Замечание 5. Нормально распределенная СВ с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему МО, что называют "правилом k сигм":

P{| X - m | ≤ kσ }

З1 =

Φ(k) - Φ(- k) =

{

0.6827, k = 1, 0.9545, k = 2, 0.9973, k = 3.

Замечание 6. Нормальное распределение имеет очень широкое распространение в прикладных задачах. Это связано с тем, что в реальной жизни многие исследуемые СВ являются следствием разлияных случайных событий. В частности, при достаточно общих предположениях сумма большого числа независимых СВ имеет распределение близкое к нормальному (точные формулировки см. ниже, Теорема Л11.Р1.Т2).

Пример 1. Рост людей на нашей планете хорошо описывается нормальным распределением. Это, по-видимому, связано с тем, что на рост влияют разнообразные независимые случайные факторы: климат, экология окружающей среды, экономические условия, болезни и т.д. Хотя, конечно, "бесконечно" большие люди (великаны) и "бесконечно" маленькие люди (гномы) бывают только в сказках. Это говорит о том, что "хвосты" истинного распределения роста людей отличаются от нормального распределения.