Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2018-01-03 | 243 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 1. СВ
Y | Δ = | ex, |
где X ~ N (m, σ), имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение с параметрами m и σ > 0.
Замечание 1. Так как ex - строго возрастающая функция, то, учитывая вид нормального распределения (определение Л6.Р1.О1), найдём плотность логнормального распределения
fY (y) | 4)f(x) = | fx (ψ (y)) ψ '(y) = | | | ψ (y) = ln yψ '(y) = 1/ y | | | = |
= | { |
0, | , y > 0, y ≤ 0. |
График fY (y) (см. рис. 8) асимметричен с максимумом в точке y = exp(m - σ 2).
Рисунок 8.
Замечание 2. Найдём МО и дисперсию СВ Y. По определению:
M[ Y ] = | 1 σ √2 π | +∞ ∫ 0 | exp{-(ln y - m)2/2 σ 2} d y = | | | замена перем. y = exp{ σ (t + σ) + m } | | | = |
= | exp{ m + σ 2/2} √2 π | +∞ ∫ -∞ | e-t | 2 | /2 d t = exp{ m + σ 2/2}. |
Аналогично можно найти M [ Y 2]= exp{2(σ 2 + m)}. Поэтому
D [ Y ] = M [ Y 2] - (M [ Y ])2 = exp(σ 2 + 2 m)*(exp{ σ 2} - 1).
Замечание 3. Логнормальное распределение широко используется в экономической статистике, статистической физике и др.
Экспоненциальное распределение.
Определение 1. СВ X имеет экспоненциальное (показательное) распределение с параметром λ > 0 (X ~ E (λ)), если (см. рис. 3)
f (x)= | { | λe-λx 0 | ,, | если x ≥ 0, если x < 0. |
Рисунок 3 Рисунок 4.
Замечание 1. Функция распределения СВ X ~ E (λ) равна (см. рис. 4): F (x) = 0, если x < 0, и
F (x) | Δ = | x ∫ -∞ | f (x) d x = | f (x) = 0,если x < 0 | = λ | x ∫ 0 | e-λx d x = 1 - e-λx, x ≥ 0. |
Замечание 2. Характеристическая функция СВ X ~ Е (λ):
g (t) | Δ = | +∞ ∫ -∞ | eitxf (x) d x = λ | +∞ ∫ 0 | e-λxeitx d x = λ | +∞ ∫ 0 | ex (it - λ) d x = |
= | λ it-λ | ex (it-λ) | | | +∞ x =0 | = | λ λ-it | . |
Замечание 3. Найдём МО и дисперсию СВ X ~ E (λ):
|
mx | Δ = | ν 1 = | 1 i | d d t | g (t) | | | t =0 | = | λ (λ-it)2 | | | t =0 | = | 1 λ | , |
ν 2 = | 1 i 2 | d2 d t 2 | g (t) | | | t =0 | = | 2 λ (λ-it)3 | | | t =0 | = | 2 λ 2 | , |
dx | 6)mx = | ν 2 - ν 12 = | 1 λ 2 | . |
Замечание 4. Экспоненциальное распределение является одним из основных распределений, используемых в теории надежности. Например, продолжительность безотказной работы многих технических устройств, а также время задержки вылета самолёта по вине технических служб аэропорта удовлетворительно описываются соответствующими экспоненциальными распределениями.
Закон больших чисел.
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимают совокупность теорем, в которых утверждается, что существует связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.
12.Неравенство Чебышёва. теорема Чебышева. Лемма Чебышева (Маркова). Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого a>0 имеет место неравенство:
(2.14.1) |
12.Неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого e>0 имеет место неравенство:
(2.14.2) |
Неравенство Чебышева является в теории вероятностей общим фактом и позволяет оценить нижнюю границу вероятностей.
12.Теорема. Закон больших чисел Чебышева. Пусть Х1, Х2,..., Хn - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной C=const (D(Xi) £ C(i=1, 2,..., n)). Тогда для любого e>0:
(2.14.3) |
Теорема показывает, что среднее арифметическое большого числа случайных величин с вероятностью сколь угодно близкой к 1 будет мало отклониться от среднего арифметического математических ожиданий.
Следствие 1. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна p, m - число наступлений события А в серии из n независимых испытаний, то, каково бы ни было число e > 0 имеет место предел:
|
(2.14.4) |
Таким образом устанавливается связь между относительной частотой появления события А и постоянной вероятностью p в серии из n независимых испытаний.
Следствие 2. Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в k-ом испытании равна pk, то
где m-число появлений события А в серии из n испытаний.
Следствие 3. Теорема Бернулли. Если Х1, Х2,..., Хn - последовательность независимых случайных величин таких, что
М(Х1)=М(Х2) =... = М(Хn)=а,
М(Х1)<C, D(X2)<C,..., D(Xn)<C, где С=const,
то, каково бы ни было постоянное число e > 0 имеет место предел:
(2.14.5) |
Этот частный случай закона больших чисел позволяет обосновать правило средней арифметической.
Законы больших чисел не позволяют уменьшить неопределенность в каждом конкретном случае, они утверждают лишь о существовании закономерности при достаточно большом числе опытов. Например, если при подбрасывании монеты 10 раз появился герб, то это не означает, что в 11 раз появится цифра.
Правило трех сигм.
Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е.
Другими словами, если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале
Воспользуемся
Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределённой по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит по абсолютной величине величину равна
Доказательство.
Из последнего равенства можно сделать вывод о том, что нарушение "правила трёх сигм", т.е. отклонение нормально распределённой случайной величины X больше, чем на (по абсолютной величине), является событием практически невозможным, так как его вероятность достаточно мала:
Теорема Бернулли.
Определение 1. Числом сочетаний Cnm из n элементов по m (m ≤ n) называется количество всех возможных способов, которыми можно выбрать m различных элементов из n, вычисляемое по формуле:
Cnm | Δ = | n! m!(n-m)! | . |
Теорема 1. Пусть опыт G производится независимо n раз в одних и тех же условиях, причем некоторое событие A при каждом повторении опыте появляется с одной и той же вероятностью p = P (A). Тогда вероятность Pn (m) события Bn (m), состоящего в том, что при n повторениях опыта G событие A произойдет ровно m раз, вычисляется по формуле Бернулли:
|
Pn (m) | Δ = | P(Bn (m)) = Cnm pm (1- p) n-m. |
Замечание 1. Проверим справедливость этой формулы для n = 3 и m = 1. В этом случае
P3(1) | Δ = | P(B 3(1)) = C 31 p 1(1- p)2 = 3 p (1 - p) 2. |
Представим событие B 3(1) в виде суммы трёх несовместных событий:
B 3(1) = A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3, |
где события Ai и Ai состоят в том, что событие A произойдёт или не произойдёт в i -м опыте, i = 1,2,3. Поэтому по замечанию Л3.Р2.З2:
P 3(1) | Δ = | P(B 3(1)) = P(A 1 A 2 A 3) + P(A 1 A 2 A 3) + P(A 1 A 2 A 3). |
Так как события A 1, A 2, A 3, а так же A 1, A 2, A 3 независимы, то
P 3(1) = P(A 1)P(A 2)P(A 3) + P(A 1)P(A 2)P(A 3) + P(A 1)P(A 2)P(A 3). |
Поэтому P 3(1) = 3 p (1 - p)2. В общем случае формуле Бернулли доказывается аналогично.
Пример 1. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет ровно три раза. В этом случае
n = 5, m = 3, p = 1/2, q | Δ = | 1 - p = 1/2. |
Тогда по формуле Бернулли
P 5(3) = C 53 (1/2)3(1/2)2 = 5/16.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!