Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-13 | 151 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Множество, включающее m ненулевых векторов из n-мерного векторного пространства, состоит из линейно независимых векторов тогда и только тогда, когда лишь при li = 0 (i = 1, 2,..., m) для .
Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры li, не все равны нулю, такие, что .
1.4.Базис n -мерного векторного пространства
Базисом (максимальной линейно независимой системой векторов) n -мерного пространства называется линейно независимое множество векторов через которые посредством линейных комбинаций может быть выражен любой вектор этого пространства.
Пример. Вектор может быть разложен единственным образом по векторам , , которые образуют базис пространства .
ТЕМА 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов:
.
Числа aij - называются матричными элементами матрицы A.
Примечание. Матрицу Аmxn можно представить в виде совокупности m вектор-строк или n вектор-столбцов, т.е.
.
Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов, называется квадратной.
Квадратная матрица, имеющая единицу по главной диагонали и нули на всех остальных местах, является единичной и обозначается Е, т.е.
2.1. Действия с матрицами
Транспонирование матриц
Транспонированием матриц называется такое преобразование исходной матрицы, когда столбцы преобразуются в строки и наоборот - строки в столбцы: , где
Пример
Транспонируя матрицу , получим .
Сложение
Суммой двух матриц является третья матрица той же размерности, каждый элемент которой представляет сумму двух соответствующих элементов слагаемых матриц: ; .
|
Пример. Складывая матрицы
и получим .
Умножение матрицы на скаляр
Произведением матрицы на скаляр l является матрица
.
Каждый элемент матрицы А умножен на скаляр l.
Умножение матриц
Произведением матрицы Аmxn на матрицу Bnxr называется новая матрица Сmxr, каждый элемент которой представляет скалярное произведение соответствующей вектор-строки левой матрицы на вектор-столбец правого множителя:
,
где .
Пример
Рассмотрим произведение А2x4 × B4x3 = C2x3 или
,
где C11 = 14 представляет скалярное произведение вектор-строки (2; 3; 1; 0) на вектор-столбец (4; 2; 0; 1), т.е. и т.д.
Правило. Перемножать можно матрицы только в том случае, когда количество столбцов первой (левой) матрицы равно количеству строк второй (правой) матрицы.
Cвойства операции умножения матрицы.
а) A(B+C)=AB+AC
b) (A+B)C=AC+BC
c) C(AB)=(CA)B
d) .
Определителем 2-го порядка называется число, получаемое из элементов матрицы 2-го порядка, представленных в виде квадратной таблицы. Он равен разнице произведений чисел, расположенных по главной и побочной диагоналям:
,
где - элементы определителя;
- главная диагональ;
- побочная диагональ.
Определителем 3-го порядка называется число, которое можно найти по следующей формуле
Определитель третьего порядка, также можно найти по теореме Лапласа:
- это разложение по i-й строке. Чтобы вычислить алгебраическое дополнение Аi1 элемента аi1, вычеркнем мысленно из матрицы, например, вторую (i = 2) строку и первый столбец, на пересечении которых стоит . Оставшемуся определителю второго порядка припишем знак (-1)2+1:
Следующий элемент во второй строке а алгебраическое дополнение элемента будет .
Обратная матрица
Пусть А - квадратная матрица. Матрица B называется обратной для матрицы А, если произведение этих матриц равно единичной матрице, т.е. АB = BA=E.
Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то эта матрица имеет обратную и притом единственную.
|
Правило. Для вычисления обратной матрицы необходимо осуществить следующие операции:
1. Вычислить определитель исходной матрицы; если он не равен нулю, то обратная матрица существует.
2. Вычислить алгебраические дополнения элементов исходной матрицы: А11, А12,..., Аn1,... Аnn.
3. Составить из алгебраических дополнений матрицу
4. Транспонируя полученную матрицу, получить присоединенную .
5. Разделив присоединенную матрицу на определитель, получить обратную матрицу ,
6. Сделать проверку ∙ =E
Пример. Вычислить обратную матрицу для .
Проводим расчеты по пунктам, описанным выше:
1.
2.
, , ,
, , ,
, , .
3.
.
4.
.
5.
=-
.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!