Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-12-13 | 306 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
261. Евклидово пространство. 262. Неравенство Буняковского-Коши.
10. Определение евклидова пространства. В линейном пространстве кроме операций сложения элементов и умножения элемента на действительное число, введем еще одну операцию – скалярное произведение. Каждой паре векторов сопоставим действительное число , которое и назовем скалярным произведением.
Потребуем, чтобы для любых и любого числа выполнялись следующие аксиомы:
1) ;
2) ;
3) ;
4) при для .
Очевидно, что скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов нулевой: . Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом этого вектора.
Евклидовым пространством называется линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов, удовлетворяющая аксиомам 1) – 4).
В качестве примера евклидова пространства рассмотрим n -мерное линейное пространство упорядоченных совокупностей n действительных чисел. Скалярное произведение двух его векторов , , по аналогии со случаями , определим как
. (1)
Рассматриваемое линейное пространство со скалярным произведением (1) называется n - мерным евклидовым пространством (сохраним для него прежнее обозначение).
20. Норма вектора евклидова пространства. Нормой вектора евклидова пространства называется арифметическое значение корня из скалярного квадрата этого вектора:
. (2)
Например, в евклидовом пространстве норма вектора определяется формулой
.
С войства нормы вектора .
1. в том и только в том случае, когда .
2. , где – любое действительное число.
3. — неравенство Коши-Буняковского.
4. — неравенство треугольника.
263. Ортогональный и ортонормированный базисы.
|
Векторы x и y евклидова пространства V называются ортогональными , если выполняется условие .
Так как в геометрическом пространстве свободных векторов понятие ортогональности совпадает с понятием перпендикулярности векторов, то ортогональность можно рассматривать как обобщение понятия перпендикулярности в абстрактном евклидовом пространстве.
Система векторов
(1)
называется ортогональной, если ее векторы попарно ортогональны,
т.е. при .
Утверждение 1. Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, является линейно независимой.
Пусть теперь – n -мерное евклидово пространство. Тогда, в силу утверждения 1, ортогональная система векторов (1) образует ортогональный базис этого пространства.
Вектор x евклидова пространства V назовем нормированным или единичным, если .
Если x – ненулевой вектор, то его можно нормировать, если умножить на число .
Система векторов называется ортонормированной, если она является ортогональной и нормированной.
Базис n -мерного евклидова пространства V называется ортонормированным, если базисные векторы образуют ортонормированную систему.
Теорема 1. В n -мерном евклидовом пространстве V существует ортонормированный базис.
Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений одноименных координат.
Отсюда, .
264. Разложение вектора по ортогональному базису.
разложение вектора по ортогональному базису:
Коэффициенты можно найти так:
.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!