Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

19¹. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть дана прямая, заданная каноническими уравнениями

(1)

и плоскость

. (2)

Углом между прямой и плоскостью считают острый угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость (рис.1).

Этот угол определяется равенством

.

19². Взаимное расположение прямой и плоскости.

Прямая (1) параллельна плоскости (2) тогда и только тогда, когда направляющий вектор этой прямой перпендикулярен нормальному вектору данной плоскости.

Отсюда получаем условие параллельности прямой (1) и
плоскости (2):

.

Прямая (1) перпендикулярна плоскости (2) в том и только том случае, когда направляющий вектор этой прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости, что равносильно следующему равенству:

.

Найдем теперь условия, при которых прямая (1) принадлежит плоскости (2). Это будет тогда и только тогда, когда одновременно будут выполняться два равенства:

(3)

где первое из равенств (3) означает, что точка , через которую проходит прямая (1), принадлежит плоскости (2), а второе равенство из (3) выражает условие параллельности прямой (1) и плоскости (2).

 

Кониченские поверхности.

Конической называется поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и проходящей через некоторую точку (вершину). Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которого служит ось Oz, записывается в виде

. (5)

Геометрически коническую поверхность можно изобразить, как показано на рис. 4.

Аналогично, уравнения , являются уравнениями конусов второго порядка с вершиной в начале координат, осями которых служат соответственно оси Оу, Ох.

 

Цилиндрические поверхности.

Поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной некоторому заданному направлению, называется цилиндрической.

Уравнение вида в декартовой системе координат
в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Oz. Аналогично, уравнение определяет цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси Oy, а – цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси Ох.

Канонические уравнения цилиндров второго порядка:

эллиптический цилиндр

, (2)

гиперболический цилиндр

, (3)

параболический цилиндр

. (4)

Образующие всех трех цилиндров, определяемых уравнениями (2), (3), (4), параллельны оси Oz, а направляющей служит соответствующая кривая второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости Oxy.

Отметим, что кривую в пространстве можно задать либо параметрически, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения направляющей эллиптического цилиндра, т.е. уравнения эллипса в плоскости Oxy, имеют вид

.

 

Эллипсоид.

Эллипсоидом (рис. 1) называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением

, (1)

где величины а, b, c называют полуосями эллипсоида.

Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат – центром симметрии.

Точки пересечения осей координат с эллипсоидом называют вершинами эллипсоида.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью , параллельной плоскости Оху. Тогда линия, которая получается в сечении, определяется системой уравнений:

. (2)

Обозначим и перепишем (2) в виде .

Таким образом, сечение эллипсоида (1) плоскостью , представляет собой эллипс с полуосями ak и bk. Если , то этот эллипс стягивается в точку – вершину эллипсоида (0;0;+ с) или .

Аналогичная картина получается при рассмотрении сечений эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz. Заметим только, что плоскость Oхz пересекает эллипсоид по эллипсу, который определяется системой

,

плоскость Oyz – по эллипсу, определяемому уравнениями

.

Если две полуоси эллипсоида равны, например , из (1) получаем уравнение

(3)

Если пересечь эллипсоид (3) плоскостью , то получим окружность

с центром на оси Oz. Поэтому такой эллипсоид можно получить вращением расположенного в плоскости Oхz эллипса вокруг оси Oz. Эллипсоид (3) называют эллипсоидом вращения.

Отметим также, что в случае эллипсоид является сферой.

Гиперболоиды.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в декартовой системе координат Oxyz определяется каноническим уравнением

. (1)

Установим форму поверхности (1). Для этого рассмотрим сечения ее координатными плоскостями Oxz и Oyz. Получаем соответственно системы уравнений:

(2)

Из (2) следует, что в сечениях будут гиперболы соответственно в плоскостях Oxz и Oyz.

Рассмотрим теперь сечения данного гиперболоида плоскостями z = h, параллельными координатной плоскости Оху. В сечениях получим линии, определяемые системой уравнений

(3)

Введя величины и , перепишем систему (3) в виде

()

Из () заключаем, что плоскость пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями а ₁ и b ₁.

Рассмотренные сечения показывают, что однополостный гиперболоид изображается в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся в обе стороны по мере удаления от плоскости Оху (рис. 1).

Величины a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида.

Двуполостным гиперболоидом называют поверхность, определяемую в декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением

. (4)

Для установления формы поверхности (4) рассмотрим сечения этой поверхности координатными плоскостями Oxz и Oyz. Получим соответственно системы уравнений

и

из которых вытекает, что сечения представляются гиперболами. Изучим теперь сечения гиперболоида (1) плоскостями . В сечениях получаем линии

или (5)

где и .

При плоскость пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями а ₂ и b ₂, причем при увеличении величины а ₂ и b ₂ также увеличиваются.

Если , то из системы (5) получаем только две точки: (0;0;+ с) и , и поэтому плоскости касаются данной поверхности.

При система (5) определяет мнимый эллипс, т.е. плоскость не пересекается с гиперболоидом (4).

Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид в виде поверхности, состоящей из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши (рис. 2).

Величины a, b, c называют полуосями двуполостного гиперболоида. Если полуоси и гиперболоида (однополостного или двуполостного) равны, то он называется гиперболоидом вращения и получается вращением вокруг оси гиперболы в случае однополостного гиперболоида и гиперболы в случае двуполостного гиперболоида.

 

Параболоиды.

Эллиптическим параболоидом (рис. 1) называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением

(1)

Гиперболическим параболоидом (рис. 2) называется поверхность, определяемая каноническим уравнением

(2)

Рис. 1. Рис. 2.

Из уравнений (1) и (2) вытекает, что плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии параболоидов.

Ось Oz называется осью параболоида, а точка ее пересечения с поверхностью параболоида – вершиной.

Оба параболоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, пересекаются по параболам. Например, плоскость пересекает эллиптический параболоид по параболе

.

Из уравнения (1) заключаем, что плоскость , параллельная плоскости Oxу, пересекает эллиптический параболоид по эллипсу

,

где и . Из уравнения (2) получаем, что плоскость пересекает гиперболический параболоид по гиперболе

.

Плоскость Оху пересекает гиперболический параболоид по двум пересекающимся прямым

.

При эллиптический параболоид, заданный уравнением

,

называется параболоидом вращения. Он получается при вращении параболы вокруг оси Oz.

25. Линейное векторное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Координаты векторов. Преобразование координат вектора при замене базиса.

25¹. Линейное векторное пространство.

Рассмотрим множество элементов и множество действительных чисел. На элементах этих множеств определим операцию сложения (внутреннюю операцию): каждым двум элементам поставим в соответствии третий элемент , называемый их суммой , и операцию умножения на действительные числа (внешнюю операцию): каждому элементу и поставим в соответствие элемент , где . Потребуем, чтобы для любых элементов и чисел были выполнены следующие аксиомы:

1. – коммутативный закон.

2. – ассоциативный закон.

3. Существует такой элемент (называемый нулевым элементом), что

4. Для каждого элемента существует такой элемент (называемый элементом, противоположным элементу ), что .

5. Существует элемент 1, называемый единичным, такой, что .

6. .

7.

8. .

Множество , в котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие аксиомам 1 – 8, называется действительным (вещественным) линейным пространством или действительным (вещественным) векторным пространством, а его элементы называются векторами.

Отметим, что сумму обозначают и называют разностью элементов и .

Примеры линейных пространств.

1. Множество всех свободных векторов , где , для которых определены сложение и умножение вектора на число, является линейным пространством . В этом пространстве роль нулевого элемента играет нулевой вектор ; противоположным вектору является вектор .

2. Линейное пространство образует также множество всех матриц заданного порядка , для которых определены операции сложения и умножения на число. Здесь роль нулевого элемента играет нулевая матрица, а противоположной к матрице будет матрица .

3. Множество алгебраических многочленов от одной переменной степени не выше n. Нулевой вектор есть многочлен с коэффициентами, равными нулю.

4. множество всех матриц-столбцов длины n.

 

25². Подпространство.

Пусть задано множество , в котором определены те же операции, что и в линейном пространстве . Множество назовем подпространством линейного пространства , если выполнены следующие условия: 1) если , то ; 2) если , то .

Очевидно, что всякое подпространство линейного пространства является линейным пространством. В есть нулевой элемент 0: если , то . Для любого элемента имеется противоположный элемент : если , то . Отметим, что нулевой элемент 0 линейного пространства образует подпространство данного пространства V, а само пространство можно рассматривать как подпространство этого пространства. Такие подпространства называют тривиальными, а все другие, если они имеются, нетривиальными.

Например, множество всех свободных векторов , параллельных некоторой плоскости, для которых определены операции сложения и умножения вектора на число, является подпространством линейного пространства.

 

25³. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.

Пусть - элементы линейного пространства, а – вещественные числа.

Вектор назовем линейной комбинацией векторов . Если все , то линейная комбинация называется тривиальной; если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то линейная комбинация называется нетривиальной.

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.

(1)

Если равенство (1) выполняется только в случае , то система векторов называется линейно независимой.

Введем понятия коллинеарности и компланарности векторов линейного пространства.

Два вектора и назовем коллинеарными, если они линейно зависимы, и неколлинеарными, если они линейно независимы. Три вектора , , называются компланарными, если они линейно зависимы, и некомпланарными, если линейно независимы.

 

25⁴. Базис и размерность линейного пространства.

Линейное пространство называется конечномерным, если существует такое натуральное число n, что в этом пространстве найдетсясистемаиз n линейно независимых векторов, а любая система из (n+1) вектора является линейно зависимой. Число n в этом случае называется размерностью пространства.

Базисом -мерного линейного пространства называется любая упорядоченная система линейно независимых векторов этого пространства. Например, базис пространства образует любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов этого пространства.

Система векторов есть базис пространства .

 

25⁵. Координаты векторов.

Теорема 1. Пусть - некоторый базис линейного
-мерного пространства . Тогда любой вектор этого пространства линейно выражается через базисные векторы , т.е.

, (5)

причем коэффициенты в разложении (5) определяются однозначно.

Выражение (5) называется разложением вектора по базису , а коэффициенты – координатами вектора в базисе . Если вектор в некотором базисе имеет координаты , то записывают .

 

25⁶. Преобразование координат вектора при замене базиса.

Координаты вектора определяются выбором базиса, а значит, координаты одного и того же вектора будут различными в разных базисах. Формулами преобразования координат называются формулы, которые связывают координаты вектора в разных базисах.

Пусть в -мерном линейном пространстве заданы два различных базиса и . Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица системы векторов в базисе . Векторы из единственным образом можно разложить по базису :

(1)

Тогда матрица перехода от базиса к базису имеет вид:

. (2)

Возьмем произвольный вектор из -мерного линейного пространства и рассмотрим его координаты и соответственно в базисах и .

Формула

. (3)

выражает старые координаты вектора через его новые координаты и называются формулой преобразования координат при переходе от базиса к базису в векторной форме.

Умножим полученное равенство слева на , получим:

. (4)

Равенство (4) определяет преобразование координат при переходе от базиса к базису .