Понятие о классификации линий второго порядка.

Линии второго порядка

Лекция 14

Эллипс. Гипербола. Парабола

 

Эллипс

 

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек и равна длине данного отрезка , где .

Коротко можно записать определение эллипса так:

. (37)

Точки и называются фокусами эллипса, а расстояние между ними - фо­кальным расстоянием.

Если - точка данного эллипса, то отрезки и (а также их длины) называются фокальными радиусами точки .

Пусть на плоскости даны две различные точки и . Обозначим через се­редину отрезка . Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат , где (рис. 86).

Выведем уравнение эллипса с фо­кусами и в системе координат .

Пусть .

Замечание. Так как , то для эллипса всегда , т.е.

.

Пусть . Так как в , то

.

По определению эллипса . Преобразуем это уравнение:

;

;

;

;

;

;

.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

;

;

.

Разделим обе части этого уравнения на :

.

Так как для эллипса , то . Положим . Тогда

, где . (38)

Итак, доказано, что если , то координаты точки удовлетворяют урав­нению (38).

Докажем, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (38), то она принадлежит эллипсу .

Пусть , где , - координаты точки .

Найдем . Выразим из уравне­ния :

.

Тогда, учитывая, что , получим:

.

и и и . Из условия (37) следует, что .

Итак, уравнение (38) есть уравнение эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Если , то , т.е. - уравнение окружности радиуса .

Пользуясь каноническим уравнением эллипса, докажем геометрические свойства эллипса, которые понадобятся для построения изображения эллипса.

 

Свойства эллипса

1°. Из уравнения (38) следует, что , . Следовательно, все точки эл­липса принадлежат прямоугольнику, центр которого находится в точке , стороны параллельны осям и и равны соответственно и (рис. 87).

2°. Симметрия относительно начала координат и осей координат.

Пусть и . Из первого тождества следует, что , из второго – что , из третьего – что , а это означает, что эллипс симметричен относительно начала координат, оси и оси соответственно. Таким образом, точка является центром симметрии, оси и - осями симметрии эллипса .

Прямая, проходящая через фокусы, называется первой (фокальной) осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии эллипса.

3°. Точки пересечения эллипса с осями симметрии.

Чтобы найти точки пересечения эллипса с осью , надо решить систему их уравнений:

Решая систему, получаем: .

Аналогично находим, что .

Точки пересечения эллипса со своими осями симметрии называются вершинами эллипса. Таким образом, эллипс имеет четыре вершины.

Отрезки и называются соответственно большой и малой «осями» эллипса, а положительные числа и - большой и малой «полуосями» эллипса.

4°. Выясним, как выглядит часть эллипса, расположенная в первой координатной четверти.

Возьмем в первой координатной четверти произвольную точку , тогда . Следовательно, функция монотонно убывает от до 0, если возрастает от 0 до .

Учитывая свойства 1°- 4°, построим изображение эллипса (рис. 88):

 

Число называется эксцентриситетом эллипса. Так как для эллипса , то . У окружности . При уменьшается «высота» эллипса.

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные второй оси и отстоящие от нее на расстоянии .

Уравнения директрис:

или ;

или (рис. 89).

У окружности , следовательно, она не имеет директрис.

Эллипс обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей эллипсу, отношение расстояния от до фокуса к расстоянию от до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.

(рис. 89).

 

 

 

Замечание 1. Так как , то . В случае, когда , фокусы эллипса будут лежать на оси , а директрисы будут параллельны оси .

Замечание 2. Директрисы эллипса не имеют общих точек с эллипсом.

 

Задания для самостоятельной работы

1. Приведите уравнение эллипса к каноническому виду:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

 

2. Дано каноническое уравнение эллипса. Найдите большую и малую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки , эксцентриситет, уравнения директрис:

а) ;

б) .

 

3. Постройте изображение эллипса, его фокусов и директрис:

а) ;

б) .

 

Гипербола

 

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек и равно длине данного отрезка , где .

Коротко можно записать определение гиперболы так:

. (39)

Точки и называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними - фокальным расстоянием.

Если - точка данной гиперболы, то отрезки и (а также их длины) называются фокальными радиусами точки .

Пусть на плоскости даны две различные точки и . Обозначим через се­редину отрезка . Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат , где (рис. 90).

Выведем уравнение гиперболы с фо­кусами и в системе координат .

Пусть .

Замечание. Так как , то для гиперболы всегда , т.е.

.

Пусть . Так как в , то

.

По определению гиперболы . Преобразуем это уравнение:

;

;

;

;

;

.

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

;

;

.

Разделим обе части этого уравнения на :

.

Так как для гиперболы , то . Положим . Тогда

, где . (40)

Итак, доказано, что если , то координаты точки удовлетворяют урав­нению (40).

Докажем, что если координаты точки удовлетворяют уравнению (40), то она принадлежит гиперболе .

Пусть , где , - координаты точки .

Найдем . Выразим из уравне­ния :

.

Найдем

.

Аналогично .

при   при

Тогда .

Из условия (39) следует, что .

Итак, уравнение (40) есть уравнение гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.

Пользуясь каноническим уравнением гиперболы, докажем геометрические свойства гиперболы, которые понадобятся для построения изображения гиперболы.

Свойства гиперболы

1°. Из уравнения (40) следует, что или . Следовательно, все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямыми и (рис. 91).

2°. Симметрия относительно начала координат и осей координат.

 

Пусть и . Из первого тождества следует, что , из второго – что , из третьего – что , а это означает, что гипербола симметрична относительно начала координат, оси и оси соответственно. Таким образом, точка является центром симметрии, оси и - осями симметрии гиперболы .

Прямая, проходящая через фокусы, называется действительной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – мнимой осью симметрии гиперболы.

3°. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии.

Чтобы найти точки пересечения гиперболы с осью , надо решить систему их уравнений:

Решая систему, получаем: .

Аналогично находим, что .

Точки пересечения гиперболы со своими осями симметрии называются вершинами гиперболы. Таким образом, гипербола имеет две вершины.

Отрезки и называются соответственно действительной и мнимой «осями» гиперболы, а положительные числа и - действительной и мнимой «полуосями» гиперболы.

4°. Найдем точки пересечения гиперболы с прямой .

Для этого решим систему

Получаем уравнение . Корни - это абсциссы точки пересечения прямой с . Рассмотрим три случая:

1) Если , т.е. , то и имеют две общие точки;

2) Если , т.е. , то ;

3) Если , т.е. , то .

Следовательно, все точки гиперболы расположены в заштрихованных областях (рис. 92). Гипербола имеет две ветви.

Случаю 3) соответствуют две прямые и с угловыми коэффи-

циентами и . Эти прямые ( и ) называются асимптотами гиперболы.

При неограниченном возрастании абсолютной величины абсциссы точки гиперболы точка неограниченно приближается к асимптоте.

Учитывая свойства 1°- 4°, построим изображение гиперболы (рис. 93):

 

 

Число называется эксцентриситетом гиперболы. Так как для гиперболы , то . Чем больше , тем больше гипербола «вытянута» вдоль мнимой оси.

Гипербола, у которой , называется равносторонней. Ее каноническое уравнение . Уравнения ее асимптот .

Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии .

Уравнения директрис:

или ;

или (рис. 94).

Гипербола обладает следующим директориальным свойством: для любой точки , принадлежащей гиперболе, отношение расстояния от до фокуса к расстоянию от до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.

(рис. 94).

 

 

Замечание 1. Директрисы гиперболы не имеют общих точек с гиперболой.

Гипербола называется сопряженной к гиперболе . Ее мнимой осью является ось (на рис. 94 она изображена пунктиром).

 

 

Задания для самостоятельной работы

1. Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

 

2. Дано каноническое уравнение гиперболы. Найдите действительную и мнимую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки , эксцентриситет, уравнения директрис:

а) ;

б) .

 

3. Постройте изображение гиперболы, ее фокусов и директрис:

а) ;

б) .

 

4. Докажите, что эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .

 

Парабола

 

Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки равно расстоянию до данной прямой , не содержащей точку .

Точка называется фокусом параболы, а прямая - директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через :

.

Коротко определение параболы можно записать так:

.

Пусть на плоскости дана прямая и точка . Проведем из точки перпендикуляр к прямой . Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы точка была серединой отрезка , а (рис. 95).

Выведем уравнение параболы с фокусом и директрисой в системе координат .

Найдем координаты точки и прямой в системе : .

Пусть . Тогда по определению параболы . Учитывая, что , получим:

.

Преобразуем это уравнение:

;

. (42)

Итак, если точка принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют уравнению (42).

Пусть, обратно, координаты точки удовлетворяют уравнению (42), т.е.

.

Тогда ; а . Следовательно, , т.е. (по определению параболы).

Таким образом, доказано, что уравнение (42) есть уравнение параболы с фокусом и директрисой . Уравнение (42) называется каноническим уравнением параболы.

Чтобы изобразить параболу по ее каноническому уравнению, исследуем геометрические свойства параболы.

Свойства параболы

1°. Так как и , то из уравнения (42) следует, что , т.е. все точки параболы принадлежат полуплоскости .

2°. Выясним, симметрична ли парабола относительно начала координат и осей координат.

Пусть , т.е. парабола симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы.

Заметим, что и , следовательно, и , т.е. парабола не симметрична относительно начала координат и оси .

3°. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.

Таким образом, парабола имеет одну вершину.

4°. Зависимость формы параболы от ее фокального параметра.

Чем больше фокальный параметр , тем сильнее парабола вытягивается вдоль оси .

5°. Чтобы изобразить параболу, найдем координаты четырех вспомогательных точек, принадлежащих параболе.

.

Построение изображения параболы по ее каноническому уравнению выполняется в следующей последовательности: выбираем на плоскости прямоугольную декартову систему координат ; строим точки ; проводим через точки и параболу; строим фокус и директрису (рис. 96).

 

 

 

Эксцентриситетом параболы называется число единица.

Из определения параболы следует, что , т.е. для параболы также имеет место директориальное свойство.

Директриса параболы также никогда не пересекает параболу.

Если построить параболы и в той же канонической системе координат , то они будут расположены так (рис. 97):

 

 

 

 

Заметим, что на ось параболы в ее каноническом уравнении указывает та переменная, которая стоит в первой степени.

 

Задания для самостоятельной работы

1. Приведите к каноническому виду уравнение параболы:

а) ;	г) ;
б) ;	д) ;
в) ;	е) .

2. Дано каноническое уравнение параболы. Найдите фокальный параметр параболы, координаты фокуса и уравнение директрисы:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

 

 

3. Изобразите параболу, ее фокус и директрису:

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

 

Лекция 15

К каноническому виду

 

По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат , в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат , в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.

Итак, пусть линия второго порядка задана в системе общим уравнением .

Если , то приведение общего уравнения линии к каноническому виду происходит в два этапа:

I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение . Угол поворота находят следующим образом:

Тогда координаты координатных векторов и в системе будут находиться так:

. (44)

Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :

(45)

Подставляем и из формул (45) в общее уравнение линии . После преобразований исчезает член . Получаем уравнение линии в промежуточной системе координат .

II этап. Выделяем полные квадраты при и и совершаем перенос начала в точку по формулам

(46)

Координаты точки вычислены в системе .

Подставляем из формул (46) в уравнение линии в системе . После преобразований получаем каноническое уравнение линии в новой системе и определяем ее вид.

Строим старую систему координат , промежуточную , новую и линию по ее каноническому уравнению в системе .

Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:

1.Уравнение содержит переменные и во второй степени. Тогда выделяются полные квадраты при и . В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающих