Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-13 | 233 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Порядка к каноническому виду
Понятие о классификации линий второго порядка
Уравнение
, (43)
где не равны нулю одновременно, называется общим уравнением линии второго порядка.
Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).
Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия.
Справедлива
Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.
В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:
Название линии второго порядка | Каноническое уравнение |
1. Эллипс 2. Гипербола 3. Парабола 4. Мнимый эллипс 5. Пара пересекающихся прямых 6. Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке 7. Пара параллельных прямых 8. Пара мнимых параллельных прямых 9. Пара совпавших прямых | или или или или или |
Задания для самостоятельной работы
1. Определите тип линии второго порядка по ее каноническому уравнению:
а) ; г) ;
б) ; д) ;
в) ; е) .
2. Определите тип линии второго порядка:
а) ; г) ;
б) ; д) ;
в) ; е) .
3. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип линии второго порядка:
а) ; в) ;
б) ; г) .
4. Определите, какую линию второго порядка задает уравнение:
|
а) ; г) ;
б) ; д) ;
в) ; е) .
Приведение общего уравнения линии второго порядка
К каноническому виду
По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат , в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат , в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.
Итак, пусть линия второго порядка задана в системе общим уравнением .
Если , то приведение общего уравнения линии к каноническому виду происходит в два этапа:
I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение . Угол поворота находят следующим образом:
Тогда координаты координатных векторов и в системе будут находиться так:
. (44)
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :
(45)
Подставляем и из формул (45) в общее уравнение линии . После преобразований исчезает член . Получаем уравнение линии в промежуточной системе координат .
II этап. Выделяем полные квадраты при и и совершаем перенос начала в точку по формулам
(46)
Координаты точки вычислены в системе .
Подставляем из формул (46) в уравнение линии в системе . После преобразований получаем каноническое уравнение линии в новой системе и определяем ее вид.
Строим старую систему координат , промежуточную , новую и линию по ее каноническому уравнению в системе .
Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:
1.Уравнение содержит переменные и во второй степени. Тогда выделяются полные квадраты при и . В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых.
2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое уравнение параболы.
|
3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых.
Замечание 2. Если в общем уравнении линии , то приведение общего уравнения к каноническому виду начинают сразу со II этапа.
Рассмотрим конкретный пример.
Задача. Привести общее уравнение линии к каноническому виду, определить вид линии и построить ее изображение.
Решение. I этап. Из общего уравнения линии находим .
Найдем угол поворота координатных осей:
Находим координаты координатных векторов и в системе координат :
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :
Подставляем и из полученных формул в общее уравнение линии :
После приведения подобных получаем уравнение линии в системе координат :
.
II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при и :
Положим
тогда получаем формулы переноса начала:
При этом точка переходит в точку , координаты которой найдены в системе .
Линия в системе будет иметь уравнение
.
Приведем это уравнение к каноническому виду:
.
Следовательно, - гипербола с мнимой осью .
Последовательность построения изображения гиперболы такова:
а) Строим старую систему координат .
б) Строим промежуточную систему координат . При этом чтобы точно совершить поворот координатных векторов и на угол , построим сначала вспомогательные векторы и , которые будут коллинеарны векторам и соответственно (на чертеже эти векторы не показаны, а построены лишь их концы – точки с координатами и (рис. 98). Тогда единичные векторы и будут сонаправлены с векторами и , а оси координат и пройдут через точку и точки и соответственно (рис. 98).
в) Строим новую систему координат .
г) Строим линию по ее каноническому уравнению в системе координат (рис. 99).
Задания для самостоятельной работы
|
1. С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии и построить ее изображение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2.. С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии и построить ее изображение:
а) ;
б) ;
в) .
3. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип линии и построить ее изображение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Оглавление
Стр. | |
Методические рекомендации по работе с электронным вариантом лекций …………………………………………………………………… | |
Список рекомендуемой литературы …………………………………… | |
Элементы векторной алгебры……………………………………….. | |
Лекция 1. Векторы. Линейные операции над векторами …………….. | |
§1. Понятие вектора ………………………………….. | |
§2. Сложение и вычитание векторов ……………….. | |
§3. Умножение вектора на число …………………… | |
Лекция 2. Линейная зависимость векторов …………………………… | |
§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства ………… | |
Лекция 3. Базис. Координаты вектора ………………………………… | |
§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе и их свойства ………………………………………………………… | |
Лекция 4. Нелинейные операции над векторами …………………….. | |
§6. Скалярное произведение двух векторов ……………….. | |
Лекция 5. Нелинейные операции над векторами …………………….. | |
§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости ……. | |
§8. Векторное произведение двух векторов ………………… | |
Лекция 6. Нелинейные операции над векторами ……………………... | |
§9. Смешанное произведение трех векторов ……………….. | |
Метод координат на плоскости и в пространстве ………………… | |
Лекция 7. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат | |
§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой систем координат ………………………………………….. | |
§11. Основные аффинные и метрические задачи …………. | |
Лекция 8. Формулы преобразования координат ……………………… | |
§12. Преобразование аффинной системы координат ……… | |
§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат ……. | |
§14. Полярные координаты …………………………………. | |
Прямая линия на плоскости | |
Лекция 9. Прямая в аффинной системе координат …………………… | |
§15. Различные уравнения прямой ……………………….…. | |
§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи ……... | |
§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор) ………………………………………. | |
Лекция 10. Прямая в прямоугольной декартовой системе координат | |
§18. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали ……………………………………………………… | |
§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости ………………………………………………… | |
Плоскости и прямые в пространстве……………………………….. | |
Лекция 11. Плоскость в аффинной системе координат ………………. | |
§20. Различные уравнения плоскости в аффинной системе координат ……………………………………………….. | |
§21. Общее уравнение плоскости ………………………….. | |
§22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости ……………. | |
§23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор) ………………………………………………….. | |
Лекция 12. Плоскость в прямоугольной системе координат ……….. | |
§24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью | |
Лекция 13. Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве …………………………………. | |
§25. Различные уравнения прямой в пространстве ………… | |
§26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости … | |
§27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве …………………………………………….. | |
Линии второго порядка……………………………………………….. | |
Лекция 14. Эллипс. Гипербола. Парабола …………………………….. | |
§ 28. Эллипс …………………………………………………... | |
§ 29. Гипербола ……………………………………………….. | |
§ 30. Парабола ………………………………………………… | |
Лекция 15. Понятие о классификации линий второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду ………………………………………….. | |
§ 31. Понятие о классификации линий второго порядка …... | |
§ 32. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду …………………………………. |
|
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!