Приведение общего уравнения линии второго

Порядка к каноническому виду

 

Понятие о классификации линий второго порядка

 

Уравнение

, (43)

где не равны нулю одновременно, называется общим уравнением линии второго порядка.

Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).

Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия.

Справедлива

Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.

В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:

Название линии второго порядка	Каноническое уравнение
1. Эллипс   2. Гипербола   3. Парабола   4. Мнимый эллипс   5. Пара пересекающихся прямых   6. Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке 7. Пара параллельных прямых 8. Пара мнимых параллельных прямых 9. Пара совпавших прямых	или или   или или или

 

Задания для самостоятельной работы

1. Определите тип линии второго порядка по ее каноническому уравнению:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

2. Определите тип линии второго порядка:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

3. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип линии второго порядка:

а) ; в) ;

б) ; г) .

4. Определите, какую линию второго порядка задает уравнение:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

 

Приведение общего уравнения линии второго порядка

К каноническому виду

 

По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной декартовой системы координат , в которой дано общее уравнение (43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала получают каноническую систему координат , в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.

Итак, пусть линия второго порядка задана в системе общим уравнением .

Если , то приведение общего уравнения линии к каноническому виду происходит в два этапа:

I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются от члена, содержащего произведение . Угол поворота находят следующим образом:

Тогда координаты координатных векторов и в системе будут находиться так:

. (44)

Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :

(45)

Подставляем и из формул (45) в общее уравнение линии . После преобразований исчезает член . Получаем уравнение линии в промежуточной системе координат .

II этап. Выделяем полные квадраты при и и совершаем перенос начала в точку по формулам

(46)

Координаты точки вычислены в системе .

Подставляем из формул (46) в уравнение линии в системе . После преобразований получаем каноническое уравнение линии в новой системе и определяем ее вид.

Строим старую систему координат , промежуточную , новую и линию по ее каноническому уравнению в системе .

Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:

1.Уравнение содержит переменные и во второй степени. Тогда выделяются полные квадраты при и . В результате может получиться каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых.

2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое уравнение параболы.

3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых.

Замечание 2. Если в общем уравнении линии , то приведение общего уравнения к каноническому виду начинают сразу со II этапа.

Рассмотрим конкретный пример.

Задача. Привести общее уравнение линии к каноническому виду, определить вид линии и построить ее изображение.

Решение. I этап. Из общего уравнения линии находим .

Найдем угол поворота координатных осей:

Находим координаты координатных векторов и в системе координат :

Записываем формулы поворота координатных векторов на угол :

Подставляем и из полученных формул в общее уравнение линии :

После приведения подобных получаем уравнение линии в системе координат :

.

II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при и :

Положим

тогда получаем формулы переноса начала:

При этом точка переходит в точку , координаты которой найдены в системе .

Линия в системе будет иметь уравнение

.

Приведем это уравнение к каноническому виду:

.

Следовательно, - гипербола с мнимой осью .

Последовательность построения изображения гиперболы такова:

а) Строим старую систему координат .

б) Строим промежуточную систему координат . При этом чтобы точно совершить поворот координатных векторов и на угол , построим сначала вспомогательные векторы и , которые будут коллинеарны векторам и соответственно (на чертеже эти векторы не показаны, а построены лишь их концы – точки с координатами и (рис. 98). Тогда единичные векторы и будут сонаправлены с векторами и , а оси координат и пройдут через точку и точки и соответственно (рис. 98).

в) Строим новую систему координат .

г) Строим линию по ее каноническому уравнению в системе координат (рис. 99).

 

 

Задания для самостоятельной работы

1. С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии и построить ее изображение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.. С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии и построить ее изображение:

а) ;

б) ;

в) .

3. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип линии и построить ее изображение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

Оглавление

	Стр.
Методические рекомендации по работе с электронным вариантом лекций ……………………………………………………………………
Список рекомендуемой литературы ……………………………………
Элементы векторной алгебры………………………………………..
Лекция 1. Векторы. Линейные операции над векторами ……………..
§1. Понятие вектора …………………………………..
§2. Сложение и вычитание векторов ………………..
§3. Умножение вектора на число ……………………
Лекция 2. Линейная зависимость векторов ……………………………
§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства …………
Лекция 3. Базис. Координаты вектора …………………………………
§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе и их свойства …………………………………………………………
Лекция 4. Нелинейные операции над векторами ……………………..
§6. Скалярное произведение двух векторов ………………..
Лекция 5. Нелинейные операции над векторами ……………………..
§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости …….
§8. Векторное произведение двух векторов …………………
Лекция 6. Нелинейные операции над векторами ……………………...
§9. Смешанное произведение трех векторов ………………..
Метод координат на плоскости и в пространстве …………………
Лекция 7. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат
§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой систем координат …………………………………………..
§11. Основные аффинные и метрические задачи ………….
Лекция 8. Формулы преобразования координат ………………………
§12. Преобразование аффинной системы координат ………
§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат …….
§14. Полярные координаты ………………………………….
Прямая линия на плоскости
Лекция 9. Прямая в аффинной системе координат ……………………
§15. Различные уравнения прямой ……………………….….
§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи ……...
§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор) ……………………………………….
Лекция 10. Прямая в прямоугольной декартовой системе координат
§18. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали ………………………………………………………
§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости …………………………………………………
Плоскости и прямые в пространстве………………………………..
Лекция 11. Плоскость в аффинной системе координат ……………….
§20. Различные уравнения плоскости в аффинной системе координат ………………………………………………..
§21. Общее уравнение плоскости …………………………..
§22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости …………….
§23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор) …………………………………………………..
Лекция 12. Плоскость в прямоугольной системе координат ………..
§24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
Лекция 13. Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве ………………………………….
§25. Различные уравнения прямой в пространстве …………
§26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости …
§27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве ……………………………………………..
Линии второго порядка………………………………………………..
Лекция 14. Эллипс. Гипербола. Парабола ……………………………..
§ 28. Эллипс …………………………………………………...
§ 29. Гипербола ………………………………………………..
§ 30. Парабола …………………………………………………
Лекция 15. Понятие о классификации линий второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду …………………………………………..
§ 31. Понятие о классификации линий второго порядка …...
§ 32. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду ………………………………….