Объем шара, ограниченного сферой

Площадь сегмента сферы

, где H — высота сегмента, а — зенитный угол

 

Билет 23.1

Синусом называется отношение

Косинусом называется отношение

Тангенс определяется как

Котангенс определяется как

Секанс определяется как

Функции — периодические с периодом 2π, функции и — c периодом π.

23.2

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Если касательная плоскость к сфере определяется как плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, то признак и свойство касательной плоскости формулирутся так:

Признак. Если плоскость проходит через точку сферы перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то плоскость касается сферы.

Свойство. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если же касательная плоскость к сфере определяется как плоскость, проходящая через точку на сфере перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, то формулировки признака и свойства таковы:

Признак. Если плоскость имеет со сферой единственную общую точку, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, т.е. является касательной плоскостью.

Свойство. Касательная плоскость имеет со сферой единственную общую точку

Билет 24.1

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение ‘); одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются “).

Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол связаны соотношением:

= l / r.

Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r, то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

 

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (A m B = AO, рис.1). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

 

Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом:

2 = C / r.

 

Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана:

Обратно,

 

Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:

 

; ,

24.2

надо умножить площадь основания на высоту призмы

Билет 25.1

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Найти область определения функции f(x).

2. Найти первую производную функции f '(x).

3. Определить критические точки, для этого:

a. найти действительные корни уравнения f '(x) =0;

b. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

ПРИМЕР!

25.2

Vпрямоугольного параллелепипеда V = SH = abc

Билет 26.1

а) Область определения: D (sin x) = R.

б) Множество значений: E (sin x) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .

д) Нули функции: sin x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности:
;

.

з) Экстремумы:
; .

График функции y = sin x изображен на рисунке.

26.2

V цилиндра Pr2 * H

Билет 27.1

а) Область определения: D (cos x) = R.

б) Множество значений: E (cos x) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция четная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 .

д) Нули функции: cos x = 0 при x = + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

;
.

. ж) Промежутки монотонности:

;

.

з) Экстремумы:

; .

График функции y = cos x изображен на рисунке.

27.2

 

Билет 28.1

а) Область определения: D (tg x) = R \ { /2 + n (n Z) }.

б) Множество значений: E (tg x) = R.

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: tg x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = tg x изображен на рисунке.

28.2

29.1