Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-12 | 248 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ЛОС ДУ с постоянными коэффициентами.
Эта система имеет вид
(4.1)
где - постоянные. Система (4.1) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. Основным методом построения фундаментальной системы решений (4.1) является метод Эйлера. Согласно этому методу, решение ЛОС ДУ ищется в виде
Дифференцируем обе функции по x и подставляем в (4.1):
Сокращаем оба уравнения системы на :
(4.2)
Так как - некоторые постоянные числа, подлежащие определению, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, то определитель системы (4.2) должен быть равен нулю
(4.3)
Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (4.1). Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.
Оба корня характеристического уравнения вещественны и различны: . Подставляем в одно из уравнений системы (4.2), например, в первое уравнение: Из него с точностью до константы определяем , откуда получаем первое решение ЛОС ДУ: . То же самое проделываем со вторым корнем характеристического уравнения и в результате получаем второе, линейно независимое на , решение ЛОС ДУ: . Следовательно, согласно теореме 2 §3 общим решением системы (4.1) будет следующее семейство функций:
.
2. Если - корень характеристического уравнения, то . Подставляем в одно из двух уравнений системы (4.2) и с точностью до постоянной получаем . Теперь можно составить первое решение системы (4.1):
.
Отделив вещественную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решения системы (4.1), соответствующих корню a+ib. Решения, соответствующие корню a-ib, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими крню a+ib.
|
Итак, общее решение ЛОС ДУ в этом случае имеет вид:
.
3.
В случае кратного корня характеристического уравнения предлагается представить общее решение системы уравнений (4.1) в следующем виде: , где - постоянные числа, причем и должны быть выражены через и . Рассмотрим поясняющий пример.
25.Решени систем ленейных ДУ высших порядков с постоянным коэффициентам
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений связано с понятием линейной независимости функций. Функции у1, у2,.... yn называются линейно зависимыми в данном интервале изменения аргумента х, если в этом интервале выполняется тождество C1y1+C2y2+…+Cnyn=0, где C1, C2,..., Сn - постоянные, из которых хоть одна отлична от нуля. Если же в данном интервале изменения х указанное тождество выполняется только тогда, когда все постоянные С1, С2,..., Сn равны нулю, то функции у1, у2,..., yn называются линейно независимыми в данном интервале.
Необходимое условие линейной зависимости функции: если функции у1, у2,..., уn линейно зависимы в данном интервале изменения аргумента, то определитель Вронского (вронскиан)
тождественно равен нулю в этом интервале. Отсюда: если W(y1, y2,..., yn)≠0, то функции линейно независимы в этом интервале (достаточное условие линейной независимости функций).
Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами а0, a1,..., an:
Общее решение имеет вид
здесь С1, С2, …, Сn - произвольные постоянные; у1, y2, …, yn - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (система таких решений называется фундаментальной); у* - какое-либо частное решение данного неоднородного уравнения.
Для отыскания у1, у2,..., уn следует найти корня характеристического уравнения:
Простому действительному корню rm соответствует решение однородного уравнения
Действительному корню rm кратности k соответствуют решения
Если rm=α+iβ (комплексный корень), то имеется и сопряженный корень ; этой паре корней соответствуют
|
Если rm=α+iβ - комплексный корень кратности k, то имеется и сопряженный корень той же кратности k; этой паре корней соответствуют решения
ПРИМЕР 1. Уравнение изгиба балки на упругом основании
Характеристическое уравнение k4+b4=0 имеет корни
отсюда получаем
Общее решение однородного уравнения
Для нахождения частного решения у* неоднородного уравнения либо применяют способ неопределенных коэффициентов, если правая часть имеет структуру, указанную выше (см. 1.9.4), либо пользуются вариацией произвольных постоянных. При этом в общем случае частное решение у* ищут в форме
Производные С′i(х) определяют из системы алгебраических линейных уравнений, определитель которой есть определитель Вронского, отличный от нуля в силу линейной независимости решений y1, у2,..., уn:
имея C′i(x) находят интегрированием Сi(х).
Наряду с методом вариации произвольных постоянных применяется «символический метод» [1.11.1].
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!