Задачи Коши. Теорема существования и единственности решения

Задачи, приводящие к ду

Задача 1

Материальная точка массы m замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V(0)=100 м/с, а V(l)=50 м/с.

Решение: Примем за независимую переменную время Т, отсчитываемое от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точки V будет функцией Т, т. е. V=V(T). Для нахождения V(T) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механики): m • a=F, где а=V^'(T) - есть ускорение движущегося тела, F - результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае F=- KV², К > 0 - коэффициент пропорционально-сти (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Следовательно, функция V=V(T) является решением дифференциального уравнения , Здесь m - масса тела.

Как будет показано ниже (пример 2.5), где с - const.

Найдя зависимость скорости от времени, легконайти скорость точки через 3 с после начала замедления.

Найдем сначала параметры k/m и с. Согласно условию задачи, имеем: Отсюда

Следовательно, скорость точки изменяется по закону Поэтому V(3)=25 м/с.

Задача 2

Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отрезок любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

Решение: Пусть М(х; у) - произвольная точка кривой, уравнение которой y=ƒ(х). Для определенности предположим, что кривая расположена в первой четверти (см. рис.1).

Для составления дифференциального уравнения воспользуемся геометрическим смыслом первой производной: tg а есть угловой коэффициент касательной; в точке М(х;υ) он равен y^', т. е. y^'=tg а.

Из рисунка видно, что Но

МС=υ. По условию задачи АМ=МВ, следовательно, ОС=СВ=х. Таким образом, получаем - tg a=у/x или y^'=- у/x. Решением полученного дифференциального уравнения является функция y=4/x (гипербола). Решение будет приведено в п. 2.2 (пример 2.4).

Другие задачи

Можно показать, что:

• закон изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением где К > 0 - коэффициент пропорциональности, м(Т) - масса радия в момент Т;

• «закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела в зависимости от времени, описывается уравнением где T(t) - температура тела в момент времени t, k - коэффициент про-порциональности, tо - температура воздуха (среды охлаждения);

• зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени Т во многих случаях описывается уравнением где К - коэффициент пропорциональности;

• «закон размножения бактерий» (зависимость массы м бактерий от времени Т) описывается уравнением m'_t=k•m, где k > 0;

• закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря описывается уравнением где р(Н) - атмосферное давление воздуха на высоте h, k > 0.

Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообразных задач.

 

 

Основные понятия теории ду

Соотношение вида: называется ДУ относительно функции y=y(x)

Порядком ДУ наз. порядок старшей производной входящей в это уравнение. Если искомая функция зависит от одной переменной то ДУ наз. обыкновенным, а если больше (2е или более), то уравнение наз. Уравнением частных производных.

Решением или интегралом ДУ наз. всякая функция y=f(x), которая превращает его в тождество.

 

 

Уравнение Бернулли

Здесь Р(х) и Q(x) непрерывная функция от х, а п≠0≠ 1

Это уравнение можно привести к линейному сдел преоброзованием разделив его на

Делаем замену: z=

Получим

Подставим данное уравнение в 1е и получим:

Получили линейное уравнение

 

 

Особые решения ду 1 порядка

Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x ₀, y ₀) плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f (x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x ₀, y ₀) называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача , y (x ₀) = y ₀ не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением. Для примера рассмотрим уравнение . Здесь - непрерывна в любой точке (x, y), но - не имеет конечного предела при , т.е. в любой точке (x, y) при y = 0 нарушается условие существования непрерывной производной . Следовательно, любая точка (x, 0) является особой точкой уравнения. Прямая y = 0, очевидно, интегральная кривая уравнения (функция y = 0 удовлетворяет уравнению). Найдём общее решение этого уравнения: . Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке (x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку (x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.

 

 

Формула Лиувиля

Теорема 14.5.6.1. Определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению где p1(x) - коэффициент при n - 1 производной.

Док-во. Докажем эту теорему для уравнения второго порядка Пусть y1(x), y2(x) - частные решения этого уравнения, тогда, . Так как y1(x), y2(x) - решения уравнения, то,

. Умножим первое из этих уравнений на - y2(x), второе - на y1(x) и сложим:

В первой из квадратных скобок стоит W(x), во второй -, поэтому , что и требовалось доказать.

Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n-го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского

так как первые n - 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y1(x), y2(x), …, yn(x) удовлетворяет уравнению поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим

т.е. .

Решим это уравнение относительно W(x). Функция W(x) = 0 является решением этого уравнения; если то Интегрируем последнее выражение в пределах от x0 до x: (Мы отбросили знак модуля у дроби, так как W(x) - непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, поэтому значения W(x) и W(x0) всегда имеют один знак). Окончательно. (28)

Формула (28)называется формулой Лиувилля. Из неё также следуют результаты предыдущих разделов: если W(x0) = 0, то ; если , то ни в одной точке интервала (a, b).

Интегрирование систем ДУ

Системы дифференциальных уравнений n–го порядка можно решать сведением к уравнению n–го порядка. Такой метод решения систем называетсяметодом исключения.

Рассмотрим, например, нормальную систему дифференциальных уравнений 2 –го порядка

Исключим функцию y ₂. Для этого сначала выразим y ₂ через x и y ₁ из первого уравнения системы, затем продифференцируем по x первое уравнение системы, заменяя y ₂ полученным для него выражением, а производную y ₂ − правой частью второго уравнения системы:

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение 2 –го порядка

 

Таким же образом решают методом исключения произвольные системы n–го порядка: дифференцируют уравнения системы и, последовательно исключая функции y₂,..., y _n и их производные, сводят систему к одному дифференциальному уравнению n–го порядка относительно y₁.

Типы точек покоя

 

Пусть имеем систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами причем

(1)

Причём

 

Точка , в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).

Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение

(2)

и найти его корни и .

 

Возможны следующие случаи.

 

1. Корни характеристического уравнения (2) вещественные и разные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

б) . Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис. 33);

в) . Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).

 

2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

б) . Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус, рис.36);

в) . Точка покоя устойчива (центр, рис. 37).

 

3. Корни кратные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

б) . Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис.40, 41).

Теорема. Если все корни характеристического уравнения для системы (6) имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя системы (6) , асимптотически устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя неустойчива.

 

Числовой ряд сумма ряда

ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {an} называется числовым рядом:

a1 + a2+ a3 + … + an+ … = .

Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности {an}

S1 = a1, S2= a1 + a2, …, Sn = = a1 + a2 + a3 + … + an, …

Значения Sn называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность {Sn} последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда an – общий член ряда.

Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S,то есть

,

то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:

a1 + a2 + a3 + … + an + … = S, или = S.

В противном случае ряд называют расходящимся.

Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.

Пусть есть геометрическая прогрессия bn = b1qn–1, знаменатель которой qпо абсолютной величине меньше единицы (–1 < q < 1). Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

Sn= b1+ b1qn + b1q2 + …+ b1qn–1= .

Очевидно, что при |q| < 1 с ростом n значение qn стремится к нулю. Тогда значение Sn стремится к и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b1 + b1qn + b1q2 + …= .

Знакочередующиеся ряды

Переходя к рассмотрению рядов, члены которых уже не обязательно положительны, остановимся сначала на одном важном частном типе этих рядов - на рядах знакочередующихся, теория которых сравнительно проста.

Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков.

Несколько изменяя употреблявшуюся выше символику, будем обозначать через a_n не сам общий член ряда, а его абсолютную величину. Тогда, предполагая для определенности, что первый член знакочередующегося ряда положителен, мы сможем записать этот ряд в форме^*

a ₁ - a ₂ + a ₃ - a ₄ + a ₅ -... (36)

Теорема Лейбница. Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится.

Действительно, допустим, что ряд (36) таков, что

a ₁ > a ₂ > a ₃ > a ₄ >..., (37)

(38)

Образуем частичные суммы S _{2 n} :

S ₂ = (a ₁ - a ₂),

S ₄ = (a ₁ - a ₂) + (a ₃ - a ₄),

S ₆ = (a ₁ - a ₂) + (a ₃ - a ₄) + (a ₅ - a ₆),

..............

Благодаря (37), все скобки положительны. Значит,

S ₂ < S ₄ < S ₆ <...

Иначе говоря, последовательность { S _{2 n} } возрастает. С другой стороны,

S _{2 n} = a ₁ - (a ₂ - a ₃) - (a ₄ - a ₅) -... - (a _{2 n -2} - a _{2 n -1}) - a _{2 n} ,

откуда ясно, что

S _{2 n} < a ₁.

Как известно, при этих условиях существует конечный предел

Но

S _{2 n +1} = S _{2 n} + a _{2 n +1},

откуда в связи с (38) вытекает, что сумма S _{2 n +1} с возрастанием n также стремится к S. Итак, при достаточно больших n сумма S_n будет сколь угодно близка к S независимо от четности n. Иначе говоря,

чем и доказана теорема.

Заметим, что теорема перестает быть верной, если отбросить условие убывания a_n. Например, знакочередующийся ряд

как легко видеть, расходится

 

Мажорируемый ряд.

 

Ряды Тейлора и Маклорена.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

43.

44.

 

Четные и нечетные функции

Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [ − L, L ], имеет вид

где

Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [ − L, L ], выражается формулой

где коэффициенты Фурье равны

 

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

 

, где ,

.

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

 

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

(3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x):

(4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

,

где b(u) определяется равенством (4).

Комплексная форма интеграла Фурье

 

, (5)

где

.

Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

 

 

 

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

где n=1,2,..., k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор

при этом, .

50. Преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье трансформирует последовательность комплексных (либо вещественных) чисел xn в последовательность комплексных чисел Xn. Прямое и обратное преобразования Фурье определяются, как:

Приведенные выше формулы имеют сложность O(N 2), однако широко известен способ снизить сложность дискретного преобразования Фурье доO(N·log(N)). Быстрое преобразование Фурье широко используется как само по себе, так и для ускорения вычисления других преобразований - быстрого вычисления свертки и кросс-корреляции.

Условие Коши-Римана

Теорема (необходимые условия дифференцирования). Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда функции имеют частные производные в точке удовлетворяют следующим условиям:

.

Условия (*) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство.

Пусть . Какую бы не выбрали траекторию отношение будет стремится к одному и тому же числу.

Выберем 2 траектории.

(действительная ось)
(мнимая ось)

.

.

Сравнивая вещественные и мнимые части первого и второго уравнения получаем условие Коши-Римана.

Пример.

Конформные отображения

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения

Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении.

Две метрики на гладком многообразии M называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция такая что . В этом случае тождественное отображение на M индуцирует конформное отображение .

Свойства

Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;

Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).

Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.

Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.

Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если и g — конформноэквивалентные метрические тензоры, то

где и W обозначают тензоры Вейля для и g соответственно.

Для конформно-эквивалентых метрик

Связности связаны следующей формулой:

Кривизны связаны следующей формулой:


если g(X,X) = g(Y,Y) = 1,g(X,Y) = 0,Xψ = 0 а Hessψ обозначает Гессиан функции ψ.

Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:

где f = e − ψ.

При вычислении скалярной кривизны n-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае:

 

Теорема Коши. Интеграл Коши

Результат, полученный в примере 3-5, является частным случаем теоремы Коши и, если является аналитической (или только дифференцируемой) функцией в области комплексной плоскости, то интеграл по любой замкнутой кривой от равен нулю:

(48)

Теорема Коши имеет несколько важных следствий:

	интеграл от не зависит от пути интегрирования, а определяется только значениями начальной и конечной точек (см. пример 3-5 для аналитической функции ); если - объединенная граница многосвязной области (рис.17), то имеет место формула
	(49)
Рис.17

где все участки границы обходятся в положительном направлении, т. е. когда захватываемая область остается слева при движении вдоль каждой кривой ;
значение интеграла от функции по некоторой кривой, соединяющей точки и , т. е.:

(50)

будет аналитической функцией переменной , причем . Функция (50) называется первообразной, и для нее имеет место комплексный аналог формулы Ньютона-Лейбница:

(51)

Ряд Лорана

Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как | z – z0| < | t – z0|, то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , где . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на Lρ | t – z0| < | z – z0|: . И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , где . Переобозначим n → −n, тогда форма коэффициентов ряда для Lρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR: поэтому окончательно для интеграла по Lρ получим . Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ |z − z0| ≤ R, и точка z0 расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области ; , поэтому для любого n , и
.
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени (), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z0| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z0| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим

 

 

Вычисление вычетов

 

Вычеты и их применение

 

- вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z0:

(в круге нет других особых точек).

Если то

Вычисление вычетов

 

1. z0 - устранимая особая точка:

2. z0 - полюс:

а) z0 - простой полюс:

В частности, если то

б) z0 - полюс порядка m:

(формула также верна, если z0 - полюс порядка не выше m).

3. z0 - существенно особая точка. Вычет находится по разложению в ряд Лорана.

 

 

Основная теорема о вычетах

Основная теорема о вычетах

 

Если f(z) - аналитическая на границе области D и внутри области, за исключением конечного числа особых точек z1, z2,..., zn, лежащих в D, то

(обход контура положительный).

Вычисление интегралов от функций действительной переменной

 

1. (R - рациональная функция двух переменных).

2. Если R(x) - рациональная функция, а сходится, то

где zk - все особые точки функции R(z), лежащие в верхней полуплоскости (Im zk > 0).

Если - особые точки функции R(z), лежащие в нижней полуплоскости, то

3. Если R(x) - рациональная функция, не обращающаяся в нуль на действительной оси, то

(zk - все особые точки, лежащие в верхней полуплоскости);

( - все особые точки, лежащие в нижней полуплоскости).

Замечание.

 

 

 

 

Теорема о свертке

Определение. Сверткой функций f1(t) и f2(t) называется функция .
Свёртка обозначается символом f1 * f2: . Если f1(t) и f2(t) - функции-оригиналы, то их свёртка - тоже функция-оригинал, показатель роста которой превышает наибольший из показателей роста функций f1(t) и f2(t) не больше, чем на 1. Действительно, пусть , , , тогда , так как t < e t.
Свёртка функций коммутативна: f (t) * g (t) = g (t) * f (t), в этом легко убедиться, заменив в интеграле переменную τ на τ1 = t −τ.
Можно показать, что свёртка обладает свой