Однородное уравнение первого порядка

Функция - однородная функция п-го порядка относительно переменных х и у, если при любой ƛ справедливо тождество:

Уравнение первого порядка:

- называется однородным относительно х,у если функция f(x,y) является однородной функцией неравного измерения относительно х и у

Решение однородного уравенения:

По условию

Теперь возьмем . Получается

Уравнение в этомслучае примет вид:

Сделаем подстановку:

y=Ux, тогда

Подставив в (2) получим:

=f(1,U)

Интегрируя находим:

Подставляя вместо U его значение получим интеграл уравнения

 

 

Линейные однородные ДУ. Решение уравнения

Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество.

Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как

При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так как

Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно х и у, если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде (1)

Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку.

 

Уравнение Бернулли

Здесь Р(х) и Q(x) непрерывная функция от х, а п≠0≠ 1

Это уравнение можно привести к линейному сдел преоброзованием разделив его на

Делаем замену: z=

Получим

Подставим данное уравнение в 1е и получим:

Получили линейное уравнение

 

 

Уравнение в полных дифференциалах

Если дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx = M(x,y)/N(x,y), где M и N – две заданные функции, то его можно представить как M(x,y)dx – N(x,y)dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F(x,y), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF(x,y) = 0, что эквивалентно уравнению F(x,y) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения – это «линии постоянных уровней» функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F(x,y) = c. Уравнение ydy = xdx (рис. 1) – с разделяющимися переменными, и оно же – в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy – xdx = 0, т.е. d(y2 – x2) = 0. Функция F(x,y) в этом случае равна (1/2)(y2 – x2); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.

 

 

Особые решения ду 1 порядка

Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x ₀, y ₀) плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f (x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x ₀, y ₀) называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача , y (x ₀) = y ₀ не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением. Для примера рассмотрим уравнение . Здесь - непрерывна в любой точке (x, y), но - не имеет конечного предела при , т.е. в любой точке (x, y) при y = 0 нарушается условие существования непрерывной производной . Следовательно, любая точка (x, 0) является особой точкой уравнения. Прямая y = 0, очевидно, интегральная кривая уравнения (функция y = 0 удовлетворяет уравнению). Найдём общее решение этого уравнения: . Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке (x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку (x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.