Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-12 | 238 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим ЛНДУ (5.1). Его общим решением является функция (5.3), т. е.
Частное решение уравнения (5.1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (5.2), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть общее решение уравнения (5.2).Заменим в общем решении постоянные c1 и с2 неизвестными функциями c1(x) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция
была решением уравнения (5.1). Найдем производную
Подберем функции c1(x) и с2(х) так, чтобы
Тогда
Подставляя выражение для в уравнение (5.1), получим:
или
Поскольку y1(x) и у2(х) - решения уравнения (5.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому
Таким образом, функция (5.6) будет частным решением у* уравнения (5.1), если функции c1(x) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (5.7) и (5.8):
Определитель системытак как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений у1 (х) и у2 (х) уравнения (5.2). Поэтому система (5.9) имеет единственное решение: с'1(х)= j1(x) и с'2(х)=j2(х), где j1(x) и j2(х) - некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим c1(x) и с2(х), а затем по формуле (5.6) составляем частное решение уравнения (5.1).
Пример 5.1. Найти общее решение уравнения
Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Имеем:Следовательно,
Найдем теперь частное решение у* исходногоуравнения. Оно ищется в виде (5.6): Для нахождения с1(х) и с2(х) составляем систему уравнений вида (5.9):
Решаем ее:
Запишем частное решение данного уравнения: Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.
Теорема 5.2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму двух функций: - частные решения уравнений соответственно, то функция у*=y*1+y*2 является решением данного уравнения.
|
Действительно,
Неоднородные линейные уравнения высших порядков
Системы ду. Нормальная система
Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
(1.1)
где , – неизвестные функции от независимой переменной x, подлежащие определению; , – известные функции от , заданные и непрерывные в некоторой области. Число n называется порядком системы (1.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго порядка (n=2).
Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений
(1.2)
где и – заданные и непрерывные в некоторой области функции. Пара функции (y(x); z(x)), определенная на (a,b), имеющая непрерывные производные и удовлетворяющая на (a,b) обоим уравнениям системы (1.2), называется ее решением.
Задача нахождения решения (y(x); z(x)), удовлетворяющего начальным условиям , где – заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.
Геометрический смысл решения системы ДУ
Интегрирование систем ДУ
Системы дифференциальных уравнений n–го порядка можно решать сведением к уравнению n–го порядка. Такой метод решения систем называетсяметодом исключения.
Рассмотрим, например, нормальную систему дифференциальных уравнений 2 –го порядка
Исключим функцию y 2. Для этого сначала выразим y 2 через x и y 1 из первого уравнения системы, затем продифференцируем по x первое уравнение системы, заменяя y 2 полученным для него выражением, а производную y 2 − правой частью второго уравнения системы:
Получили обыкновенное дифференциальное уравнение 2 –го порядка
Таким же образом решают методом исключения произвольные системы n–го порядка: дифференцируют уравнения системы и, последовательно исключая функции y2,..., y n и их производные, сводят систему к одному дифференциальному уравнению n–го порядка относительно y1.
|
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!