Понятие сопряженных комплексных чисел

Глава IV. Комплексные числа

 

Система комплексных чисел

 

На протяжении курса элементарной алгебры несколько раз происходит обогащение запаса чисел. Школьник, приступающий к изучению алгебры, приносит из арифметики знакомство с натуральными числами, т.е. положительными целыми числами (N). Алгебра начинается по существу с введения отрицательных чисел, т. е. с оформления первой среди важнейших числовых систем – системы целых чисел (Z), состоящей из всех положительных и всех отрицательных целых чисел и нуля, и более широкой системы рациональных чисел (Q), состоящей из всех целых чисел и всех дробных чисел, как положительных, так и отрицательных.

Дальнейшее расширение запаса чисел происходит тогда, когда в рассмотрение включаются иррациональные числа (). Система, состоящая из всех рациональных и иррациональных чисел, называется системой действительных (или вещественных) чисел (R). Строгое построение системы действительных чисел будет рассмотрено в других разделах математики. Однако сейчас будет достаточно того знакомства с действительными числами, какими обладают выпускники средней школы.

Расширение системы действительных чисел до системы комплексных чисел (С)связано со следующей задачей. Известно, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел, есть

(1);

только это уравнение будет нас сейчас интересовать. Задача, состоящая перед нами, такова: нужно расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (1) уже обладало бы корнем.

Комплексными числами называются выражения вида , где , некоторый символ, удовлетворяющий соотношению .

Задание комплексного числа вполне определяется заданием двух обыкновенных вещественных чисел и , называемых компонентами. - действительная часть числа, а b - коэффициент мнимой части.

Определим множество комплексных чисел.

Определение 1: Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел (компонент), для которых понятия равенства, суммы произведения и отожествления некоторых пар с действительными числами вводятся согласно следующим аксиомам:

I. Пары () и () считаются равными, т. и т.т. когда равны их соответствующие компоненты; () () и ;

II. Суммой пар () и () называется пара ,т.е. ;

III. Произведением пар () и () называется пара (, т.е. () () = (;

IV. Пара () отождествляется с действительным числом , т.е. () = .

Проверим, совпадение IV аксиомы и действий, определённых в I – III аксиомах, с действиями над действительными числами.

1. Пусть , тогда они отожествляются с (а,0) и (b,0); по аксиоме I , т.е. сводится к равенству этих чисел в обычном смысле.

2. Пусть () или это число + b, т.е. сумма чисел и b в обычном смысле.

3. Пусть , (а,0) и (b,0) = , т.е. равно произведению в обычном смысле и аксиома IV согласуется с аксиомами I-III и не приводит к путанице.

Обратим внимание на формулу, которая вытекает из аксиом III и IV.

, т.к. .

 

Свойства действий.

Проверим те свойства операций над комплексными числами, которые будут свидетельствовать о том, что комплексные числа составляют поле. При проверке мы немного переставим аксиомы в ином порядке.

1. Коммутативность сложения: .

2.Ассоциативность сложения: .

3. Пара (0,0) играет роль нейтрального элемента относительно сложения:

.

4. Пара является противоположным элементом для пары :

.

5. Умножение коммутативно: .

6. Умножение ассоциативно: .

7. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

.

8. Пара (1,0) является нейтральным элементом относительно умножения:

.

9. Для любой пары , отличной от нуля существует обратная ^-1:

.

Доказательство свойств 1, 2 очевидны (точнее, вытекают из соответствующих свойств сложения действительных чисел), т.к. при сложении пар мы отдельно складываем их первые и вторые компоненты пар. Коммутативность умножения основана на том, что в определение произведения пары и входят симметричным образом.

Доказательство ассоциативности умножения следует из равенств:

Закон дистрибутивности вытекает из равенств

Итак, множество пар является полем. Оно называется полем комплексных чисел.

 

Геометрическое изображение

 

Комплексное число естественно изобразить точкой на плоскости, приняв число и b за координаты точки, изображающей число . При этом каждому комплексному числу соответствует точка, и каждой точке плоскости соответствует некоторое комплексное число. Действительные числа изображают точками на оси абсцисс. На оси ординат расположены изображения «чисто мнимых» чисел . Началу координат соответствует число 0.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексной переменной. Её ось абсцисс называется вещественной осью, ось ординат – мнимой осью.

Наряду с изображением комплексного числа точками на плоскости, удобно с каждым числом связывать вектор, исходящий из начала координат в точку изображающую это число. Поэтому действия сложения комплексных чисел и умножение комплексных чисел на действительное число могут иметь геометрическую интерпретацию.

 

Корни из единицы

Как и для всякого отличного от нуля комплексного числа, для 1 существует ровно n значений корня n – ой степени. Т.к. , то для корней n – ой степени из 1 имеет место формула:

, при .

Все корни из 1 имеют модуль, равный 1, так что их изображения находятся на окружности радиуса 1 с центром в точке 0. Один из корней при есть просто число 1 и изображается точкой пересечения положительной полуоси действительной оси с единичной окружностью. Корень имеет аргумент , т.е. часть полной окружности.

У

1

 

1 Х

 

 

Все корни n – ой степени из 1 являются корнями уравнения и располагаются на единичной окружности, деля ее на n равных частей. По этой причине уравнение носит название уравнения деления круга.

Определение 1: называется первообразным корнем n – ой степени из 1, если , но при любом другом натуральном m < n, . Число , есть, очевидно, первообразный корень n – ой степени из 1, но при n > 2 существуют и другие первообразные корни.

Теорема 1: Число есть первообразный корень n – ой степени из 1 в том и только том случая, если и взаимно просты.

Доказательство: Действительно всегда. Пусть и - взаимно просты и пусть , где . Тогда , при и , т.е. - делится на n. Но т.к. , то и потому не может быть меньше n. Поэтому есть первообразный корень n – ой степени из 1.

Предположим теперь, что есть первообразный корень n – ой степени из 1, и пусть , , . Тогда и . Отсюда следует, что = 1, т.е. и взаимно просты, иначе и - не первообразный корень.

Из доказанной теоремы следует, что число первообразных n – ой степени из 1 равно числу меньших n и взаимно простых с n чисел, т.е. оно равно значению функции Эйлера от числа n.

Пример: при n = 12 имеется 4 первообразных корня .

 

Свойство корней из 1

 

Предложение 1: Произведение двух корней степени n из 1 есть корень степени n из 1.

Доказательство: Пусть и корни степени из 1, т.е. и . Но тогда т.е. - корень n – ой степени из 1.

Предложение 2: Число, обратное корню степени n из 1, есть корень степени n из 1.

Доказательство: Если , то .

Предложение 3: Пусть - любой первообразный корень степени n из 1. Тогда всякий корень степени n из 1 получается из возведением в некоторую степень с натуральным показателем.

Доказательство: Пусть -какой-либо первообразный корень степени n из 1. Тогда при любом целом число будет корнем степени n из 1, ибо . Рассмотрим числа . Все они суть корни степени n из 1. Среди них нет равных, ибо если , при , то , что невозможно, ибо , но меньше n, а - первообразный корень степени n. Итак, числа

(*)

попарно различные корни n- ой степени из 1 и их число равно n, т.е. равно числу всех корней n -ой степени из 1. Поэтому (*) – все корни степени n из 1, что и требовалось доказать.

Предложение 4: Все значения получаются из одного значения посредством умножения на все корни степени n из 1.

Доказательство: Пусть и . Тогда , так, что есть корень n –ой степени из 1 и . Обратно, если и - корень степени n из 1, то .

Теорема 1. (Здесь доказано) Все корни n -ой степени из 1 образуют мультипликативную группу из n элементов.

Теорема 2. Все корни из 1 образуют мультипликативную группу.

(Доказать самостоятельно).

Первую группу обычно обозначают ,а вторую

Доказательство: Пусть и . Тогда , так, что есть корень n –ой степени из 1 и . Обратно, если и - корень степени n из 1, то .

Теорема 1. (Здесь доказано) Все корни n -ой степени из 1 образуют мультипликативную группу из n элементов.

Теорема 2. Все корни из 1 образуют мультипликативную группу.

(Доказать самостоятельно).

Первую группу обычно обозначают ,а вторую

Глава V. Арифметическое векторное пространство и системы линейных уравнений

Система линейных уравнений

Определение 1: Системой линейных уравнений над полем с переменными называется система вида

, где .

Эту систему линейных уравнений будем кратко записывать в виде

(1) .

Допустимыми значениями свободных переменных системы линейных уравнений (1) всюду в дальнейшем считаем элементы поля .

Определение 2: Вектор из называется решением системы уравнений (1), если верны равенства .

Определение 3: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Системы линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если решений больше, чем одно.

Наряду с системой (1) рассмотрим систему (над )

(2) .

Отметим, что система линейных уравнений может состоять из одного уравнения.

Определение 4: Система уравнений (2) называется следствием системы уравнений (1), если каждое решение системы (1) является также решением системы (2).

Запись (1) (2) означает, что система (2) есть следствие системы (1).

Определение 5: Линейное уравнение

, где - произвольные числа, называется линейной комбинацией уравнений системы (1) с коэффициентами .

Предложение 1: Любая линейная комбинация линейных уравнений системы уравнений (1) является следствием этой системы.

Докажите самостоятельно.

Определение 6: Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.

Предложение 2: Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда каждая из этих систем является следствием другой системы.

Предложение 3: Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда множество всех решений одной системы совпадает с множеством всех решений другой системы.

Определение 7: Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

а) умножение обеих частей какого – нибудь уравнения системы на отличный от нуля скаляр;

б) прибавление (вычитание) к обеим частям какого – либо уравнения системы, соответствующих частей другого уравнения системы, умноженных на скаляр;

в) исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом: .

Теорема 1: Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы равносильны.

Доказательство: Пусть дана система

(1) .

Если умножить одно из её уравнений, например первое, на отличный от нуля скаляр , то получим систему

(2) .

Каждое решение системы (1) есть также решение (2). Обратно: если - любое решение системы (2), т.е.

,

то, умножив первое равенство на и не изменяя последующие равенства, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1).

Т.к. отношение равносильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).

Также легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования а) или б) приводит к системе, равносильной исходной системе (1) (проверить самостоятельно).

Следствие 1: Если к одному из уравнений системы линейных уравнений прибавить линейную комбинацию других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной.

Следствие 2: Если исключить из системы линейных уравнений или присоединить к ней уравнение, являющееся линейной комбинацией других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной системе.

Докажите самостоятельно.

Если в ходе преобразований в системе появятся уравнение , где , то этому уравнению не удовлетворяет ни один вектор , поэтому система несовместна.

 

Метод Гаусса

Рассмотрим метод решения систем с действительными коэффициентами, метод последовательного исключения неизвестных, т.е. метод Гаусса.

Пусть дана произвольная система линейных уравнений

(1).

Положим для определенности, что коэффициент .

Преобразуем теперь систему (1), исключая неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число , вычтем из соответствующих частей третьего уравнения и так далее.

Мы придём этим путём к новой системе из линейных уравнений с неизвестными: (2).

Как мы знаем, система уравнений (2) эквивалентна (1). Будем преобразовывать теперь систему (2). При этом первое уравнение мы не будем больше трогать совсем и подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть системы (2), состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом мы считаем, конечно, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю – такие уравнения мы отбросили бы, если бы и их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мы уже доказали бы несовместимость нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличные от нуля; для определённости примем . Преобразуем теперь систему (2), вычитая из обеих частей третьего и каждого из следующих уравнений обе части второго уравнения, умноженные соответственно на числа . Этим будет исключено неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго, и мы придём к следующей системе уравнений, эквивалентной системе (2), а поэтому и системе (1): .

Наша система содержит уравнений, , так как некоторые уравнения могли оказаться отброшенными. Понятно, что число уравнений системы могло уменьшиться уже после исключения неизвестного . В дальнейшем подлежит преобразованиям лишь часть полученной системы, содержащая все уравнения, кроме двух первых.

Если при выполнении преобразований мы не получили ни одного уравнения вида , , при наличии которого система получается несовместной, то мы получим следующую систему уравнений, эквивалентную системе (1):

(3) .

В этом случае система (1) совместна. Она будет определённой при и неопределённой при .

Действительно, если , то система (3) имеет вид:

.

Из последнего уравнения мы получаем вполне определённое значение для неизвестного . Подставляя его в предпоследнее уравнение, мы найдём однозначное определённое значение для неизвестного . Продолжая так далее, мы найдём однозначно значение для всех переменных. Таким образом, система (4), а значит и система (1) обладают единственным решением, т.е. совместны и определённы.

Если же , то первые неизвестных мы возьмём за «главные» неизвестные, а оставшиеся неизвестные – за «свободные». Для «свободных» неизвестных мы возьмем произвольные числовые значения, после чего, двигаясь по системе (4) снизу вверх, мы, как и выше, найдём для неизвестных вполне определённые значения. Так как значения для свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом различных способов, то наша система (3) и, следовательно, система (1), будут совместными, но неопределёнными. Легко проверит, что указанным здесь методом (при всевозможных выборах значений для свободных неизвестных) будут найдены все решения системы (1).

Замечание: При практическом решении систем линейных уравнений методом Гаусса все элементарные преобразования выполняются не над самой системой, а над её расширенной матрицей, составленной из коэффициентов и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов отделён вертикальной чертой.

Пример: .

,

Пример: .

Пример: .

Выберем за главные переменные и . Перепишем систему так, чтобы главные переменные остались с левой стороны, а остальные перенесем вправо. Получим систему:

, из этой системы получаем: .

Следовательно решением системы является множество векторов вида:

.

Ответ:

Подстановки

 

Определение 1: Подстановкой множества , где называется инъективное отображение множества М на себя.

Другими словами, подстановкой из n элементов называется замена каждого элемента из множества М вполне определенным элементом из того же множества, причем так, что различные элементы заменяются различными элементами. Всякое отображение множества М на себя удобно записать в виде таблицы .

Порядок чисел в первой строке этой таблицы несуществен, его можно как угодно изменить. Однако надо следить за тем, чтобы для всякого число было записано непосредственно под . Например: или . Строки подстановки называются перестановками элементов множества .

Множество всех подстановок множества М обозначим через S _n; элементы этого множества называются подстановками степени п.

Произведение двух подстановок и множества М определяется как композиция отображений, и , т.е. их последовательное выполнение. Таким образом, по определению для .

Обозначим через тождественное отображение М на себя: для , т.е. .

Легко видеть, что для любой подстановки , т.е. является нейтральным элементом относительно умножения.

Если - подстановка множества М, то - также подстановка множества М и . При этом .

Теорема 1: Алгебра подстановок n -ой степени является группой.

Докажите самостоятельно.

Определение 2: Группа всех подстановок n- ой степени - называется симметрической группой степени . Тождественная подстановка называется единичным элементом этой группы.

Пусть дана подстановка множества , - элементы множества . Говорят, что числа образуют инверсию в строке подстановки, если , но стоит в этой строке раньше . Подстановка называется чётной, если суммарноечисло инверсий в обеих строках подстановки чётно, и нечётной в противном случае.

Так, например, в подстановке нет инверсий, она чётная, а в подстановке одна инверсия и она нечётная.

Если в любой строке подстановки любые два числа и поменять местами, то её чётность измениться на противоположную. Например, поменяем в подстановке 2 и 1 в нижней строке. Получим подстановку , в которой две инверсии, и она чётная.

Рассмотрим теперь частный, но важный случай подстановки. Назовем подстановку из чисел -членной циклической или - членным циклом, если она переводит в число , отличное от - в число , отличное от - в число , и - в исходное число , а прочие числа (при ) оставляет неизменными. Циклическая подстановка обычно обозначается символом .

Нетрудно убедиться, что всякую подстановку из чисел можно представить как произведение независимых циклов. Независимых в том смысле, что никакие два цикла разложения не имеют общих чисел.

Для наглядности обратимся к конкретному примеру.

или

 

Теорема 2: Разность P между степенью n подстановки числом s независимых циклов (включая и одиночные), на которые разлагается данная подстановка, имеет ту же четность, что и данная подстановка из элементов. Т. е.

Без доказательства.

Примеры: , = 6 – 3 = 3; значит подстановка - нечетна.

Обозначим через знак подстановки , тогда

.

Можно сказать, что , где , или , где и - числа инверсий в верхней и нижней строках подстановки .

Теорема 3: Произведение двух (или четного числа) подстановок одинаковой чет