Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-11 | 246 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Модуль и комплексного числа связаны с его компонентами при помощи формул , . Эти формулы следуют непосредственно из определения функций и любого угла. Ясно, что , , . Эти формулы определяют модуль и аргумент по данным и b. Для определения аргумента можно пользоваться формулой при . Однако эта формула задает лишь с точностью до целого кратного (т.е. полуоборота), а не до целого кратного .
Подставляя вместо компонент комплексного числа их выражения через модуль и аргумент получаем .
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
Примеры:
, где .
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
Пусть и , тогда легко проверить, что .
Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. В буквенной записи , .
Это правило распространяется на произведение любого числа сомножителей. Именно, , . Если мы будем перемножать несколько раз одно и тоже число, то получим
. При r = 1 получается знаменитая формула Муавра: .
. Формула верна не только для натуральных значений k, но и для всех целых значений.
Деление комплексного числа в тригонометрической форме
Пусть , тогда
.
Если , то .
Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов. В буквенной записи: , .
Извлечение корня из комплексного числа
Пусть n – натуральное число. Извлечь корень с показателем n из комплексного числа - это значит найти комплексное число (или числа) так, что . Каждое число такое, что - называется корнем n – й степени из и обозначается . Ясно, что если , то единственным значением является число 0, поэтому сосредоточим внимание на случае .
|
Запишем в тригонометрической форме: и будем искать тоже в тригонометрической записи: . Равенство запишется в виде .
Приравнивая модули и аргументы (с учетом многозначности), получим, что последнее равенство равносильно равенствам:
и
Данное r – положительно () и искомое R тоже должно быть положительно. Известно, что для любого положительного числа существует единственное значение корня n –ой степени, называемое арифметическим значением корня, т.е. . Аргумент же Q находится просто делением .
Таким образом, корни n- ой степени из комплексного числа существуют, и все они получаются по формуле:
(1) .
В формуле (1) - любое целое число, но однако достаточно ограничиться значениями . Действительно, пусть , . Разделим на с остатком: , где - целое число, а остаток может принимать только такие значения: 0, 1, …, .
Так как
, ,
то , где . Итак, мы доказали теорему:
Теорема 1: Существует ровно n корней - ой степени из комплексного числа . Они вычисляются по формуле (1) при .
Пример: Вычислить .
, ,
следовательно, .
;
.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!